기하평면벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

벡터 크기의 최솟값

문제

좌표평면에서 두 벡터 a⃗=(−3,3){\vec{a}} = ( - 3 , 3 ), b⃗=(1,−1){\vec{b}} = ( 1 , - 1 )에 대하여 벡터 p⃗{\vec{p}}가 ∣p⃗−a⃗∣=∣b⃗∣\left| {\vec{p}} - {\vec{a}} \right| = \left| {\vec{b}} \right| 를 만족시킬 때, ∣p⃗−b⃗∣\left| {\vec{p}} - {\vec{b}} \right|의 최솟값은? [3점] ①322\displaystyle \frac{3}{2} \sqrt{2}②22\displaystyle 2 \sqrt{2}③522\displaystyle \frac{5}{2} \sqrt{2}④32\displaystyle 3 \sqrt{2}⑤722\displaystyle \frac{7}{2} \sqrt{2}

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④

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해설

벡터 a⃗{\vec{a}}의 종점을 점 A\mathrm{A}, 벡터 b⃗{\vec{b}}의 종점을 점 B\mathrm{B}라 하고, 벡터 p⃗{\vec{p}}의 종점을 점 P\mathrm{P}라 하자. ∣b⃗∣=12+(−1)2=2\displaystyle \left| {\vec{b}} \right| = \sqrt{1 ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2}} = \sqrt{2} 이므로 ∣p⃗−a⃗∣=∣b⃗∣\left| {\vec{p}} - {\vec{a}} \right| = \left| {\vec{b}} \right|에서 점 P\mathrm{P}는 점 A\mathrm{A}를 중심으로 하고 반지름의 길이가 2\displaystyle \mathrm{\sqrt{2}}인 원 위의 점이다.

∣p⃗−b⃗∣\left| {\vec{p}} - {\vec{b}} \right|의 최솟값은 점 P\mathrm{P}에서 점 B(1,−1)\mathrm{B} \left( 1 , - 1 \right)에 이르는 거리의 최솟값이므로 점 A\mathrm{A}와 점 B\mathrm{B}사이의 거리에서 점 P\mathrm{P}가 이루는 도형의 반지름을 뺀 값이다. (−3−1)2+(3+1)2−2\displaystyle \sqrt{\left( - 3 - 1 \right) ^{2} + \left( 3 + 1 \right) ^{2}} - \sqrt{2}=42−2\displaystyle = 4 \sqrt{2} - \sqrt{2} =32\displaystyle = 3 \sqrt{2} 따라서 구하는 최솟값은 32\displaystyle 3 \sqrt{2}이다.

태그

#원의 벡터방정식#최솟값

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