벡터 크기 최대최소

$\mathrm{\vec{PQ}} + \vec{OE}$$= \mathrm{\vec{OQ}} - \vec{OP} + \vec{OE}$에서 $\mathrm{\vec{OE}} + \vec{OQ} = \vec{OR}$라 하면 점 $\mathrm{R}$는 점 $\mathrm{Q}$를 $x$축 방향으로 $- 4$만큼 $y$축 방향으로 $2$만큼 평행이동한 점이다. 따라서 점 $\mathrm{R}$는 삼각형 $\mathrm{CDB}$를 $x$축 방향으로 $- 4$, $y$축 방향으로 $2$만큼 평행이동한 삼각형 $\mathrm{C}' D' B'$ 위를 움직이는 점이다. 이때 $\mathrm{C}' \left( 3 , 3 \right)$, $\mathrm{D}' \left( 3 , 2 \right)$, $\mathrm{B}' \left( 4 , 2 \right)$이고 $\mathrm{\vec{PQ}} + \vec{OE}$$= \mathrm{\vec{OR}} - \vec{OP}$$= \mathrm{\vec{PR}}$ 이므로 점 $\mathrm{P}$는 삼각형 $\mathrm{AOB}$ 위를 움직이고, 점 $\mathrm{R}$는 삼각형 $\mathrm{C}' D' B'$ 위를 움직인다.

따라서 두 점 사이의 거리가 최대가 될 때는 $\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} = \overline{AB'}$일 때와 $\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} = \overline{BC'}$일 때, 그리고 $\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} = \overline{OB'}$일 때로 나누어 생각해 볼 수 있다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB'}} = \sqrt{\left( - 4 \right) ^{2} + \left( 8 - 2 \right) ^{2}} = \sqrt{52}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BC'}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( 8 - 3 \right) ^{2} + \left( - 3 \right) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{34}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OB'}}$$\displaystyle = \sqrt{4 ^{2} + 2 ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{20}$

$\displaystyle \mathrm{\overline{AB'}}$가 최대이므로 $\left| \vec{\mathrm{P} R} \right| ^{2}$이 최대일 때는 $\mathrm{P} \left( 0 , 8 \right)$이고 $\mathrm{R} \left( 4 , 2 \right)$일 때이다. 따라서 $\left| \vec{\mathrm{P} R} \right| ^{2}$$= \left( - 4 \right) ^{2} + \left( 8 - 2 \right) ^{2}$$= 52$이므로 $M$$= 52$

한편, 두 점 사이의 거리가 최소일 때는 점 $\mathrm{R}$가 선분 $\mathrm{B}' C'$위를 움직이고 이때 점 $\mathrm{R}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발에 점 $\mathrm{P}$가 위치할 때이다. 따라서 점 $\mathrm{B}' \left( 4 , 2 \right)$에서 직선 $y = - x + 8$까지의 거리를 구하면 $\displaystyle \frac{\left| 4 + 2 - 8 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2}}}$$\displaystyle = \sqrt{2}$ 이고 이때 $\left| \vec{\mathrm{P} R} \right| ^{2}$$= 2$이므로 $m = 2$ $\therefore$ $M + m = 52 + 2 = 54$