벡터 크기 최대·최소

조건 (가)에서 점 $\mathrm{C}$는 점 $\mathrm{A}$를 중심으로 하고 반지름이 $4$인 원 위의 점이다. 조건 (나)에서 ${\vec{\mathrm{OA}}}$와 $\mathrm{\vec{AC}}$는 수직이다. ${\vec{\mathrm{AB}}} \bullet {\vec{\mathrm{AC}}} > 0$이므로 점 $\mathrm{C}$는 직선 $\mathrm{OA}$에 대하여 점 $\mathrm{B}$와 같은 방향에 존재한다. $\left( {\vec{\mathrm{OP}}} - {\vec{\mathrm{OC}}} \right) \bullet \left( {\vec{\mathrm{OP}}} - {\vec{\mathrm{OA}}} \right) = 0$에서 $\mathrm{\vec{CP}} \bullet {\vec{AP}} = 0$이므로 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AC}$를 지름으로 하는 원 위의 점이다. 이 원의 중심을 점 $\mathrm{O}'$라 하자. 점 $\mathrm{O}$를 원점, 직선 $\mathrm{OA}$를 $x$축으로 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{O}'$를 중심으로 하는 원 위를 움직이고, 점 $\mathrm{Q}$는 정삼각형 $\mathrm{OAB}$ 위를 움직이므로 $\left| {\vec{\mathrm{OP}}} + {\vec{\mathrm{OQ}}} \right|$$= \left| {\vec{\mathrm{OO}'}} + {\vec{\mathrm{O}' P}} + {\vec{\mathrm{OQ}}} \right|$ 여기서 $\mathrm{\vec{O' P}}$는 크기가 $2$이고 방향을 알 수 없는 벡터다. ${\vec{\mathrm{OO}'}} + {\vec{\mathrm{OQ}}}$는 정삼각형 $\mathrm{OAB}$를 점 $\mathrm{O}$가 점 $\mathrm{O}'$가 되도록 평행이동시킨 정삼각형 $\mathrm{O}' A' B'$ 위의 점 $\mathrm{Q}'$을 종점으로 하는 $\mathrm{\vec{OQ'}}$와 같다. 따라서 $\left| {\vec{\mathrm{OP}}} + {\vec{\mathrm{OQ}}} \right|$의 최댓값은 정삼각형 $\mathrm{O}' A' B'$ 위의 점 $\mathrm{Q}'$을 종점으로 하는 $\mathrm{\vec{OQ'}}$의 크기의 최댓값에 $\mathrm{\left| {\vec{O' P}} \right|}$를 더한 값이고, $\left| {\vec{\mathrm{OP}}} + {\vec{\mathrm{OQ}}} \right|$의 최솟값은 $\mathrm{\vec{OQ'}}$의 크기의 최솟값에 $\mathrm{\left| {\vec{O' P}} \right|}$를 뺀 값이다. 위의 그림에서 $\mathrm{\vec{OQ'}}$의 크기의 최댓값은 점 $\mathrm{Q}'$가 선분 $\mathrm{A}' B'$ 위에 존재할 때 구할 수 있으며, 최솟값은 점 $\mathrm{Q}'$가 점 $\mathrm{O}'$일 때다. 따라서 $\left| {\vec{\mathrm{OP}}} + {\vec{\mathrm{OQ}}} \right|$의 최댓값은 $\mathrm{\left| {\vec{OA'}} \right|} + 2$이거나 $\mathrm{\left| {\vec{OB'}} \right|} + 2$이고, 최솟값은 $\mathrm{\left| {\vec{OO'}} \right|} - 2$다. 좌표평면에서 점 $\mathrm{A}$는 $\displaystyle \left( 4 \sqrt{2} , 0 \right)$이고 점 $\mathrm{B}$는 $\displaystyle \left( 2 \sqrt{2} , 2 \sqrt{6} \right)$, 점 $\mathrm{O}'$는 $\displaystyle \left( 4 \sqrt{2} , 2 \right)$다. 따라서 점 $\mathrm{A}'$는 $\displaystyle \left( 8 \sqrt{2} , 2 \right)$이고 점 $\mathrm{B}'$는 $\displaystyle \left( 6 \sqrt{2} , 2 + 2 \sqrt{6} \right)$이다. $\mathrm{\left| {\vec{OA'}} \right|} + 2$$\displaystyle = \sqrt{\left( 8 \sqrt{2} \right) ^{2} + 4} + 2$$\displaystyle = \sqrt{132} + 2$$\displaystyle = 2 + 2 \sqrt{33}$ $\mathrm{\left| {\vec{OB'}} \right|} + 2$$\displaystyle = \sqrt{\left( 6 \sqrt{2} \right) ^{2} + \left( 2 + 2 \sqrt{6} \right) ^{2}} + 2$$\displaystyle = \sqrt{100 + 4 \sqrt{6}} + 2$ 그런데 $\displaystyle 100 + 4 \sqrt{6} < 132$이므로 구하는 최댓값은 $\displaystyle 2 + 2 \sqrt{33}$이다. $\mathrm{\left| {\vec{OO'}} \right|} - 2$$\displaystyle = \sqrt{\left( 4 \sqrt{2} \right) ^{2} + 4} - 2 = 6 - 2 = 4$ 따라서 구하는 최솟값은 $4$다. 라서 $\left| {\vec{\mathrm{OP}}} + {\vec{\mathrm{OQ}}} \right|$의 최댓값과 최솟값의 합은 $\displaystyle 2 + 2 \sqrt{33} + 4 = 6 + 2 \sqrt{33}$ 이므로 $p = 6$, $q = 2$ $\therefore$ $p ^{2} + q ^{2} = 36 + 4 = 40$