벡터 조건과 내적값

조건 (가)에 의하여 ${\vec{\mathrm{AP}}} \bullet {\vec{\mathrm{BP}}} = 0$이므로 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 위에 있고 ${\vec{\mathrm{OP}}} \bullet {\vec{\mathrm{OC}}} \geq 0$이므로 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표는 $\mathrm{0}$ 이상이다. 그러므로 점 $\mathrm{P}$는 곡선 $\left( x - 4 \right) ^{2} + y ^{2} = 4 \left( y \geq 0 \right)$ 위에 있다. 조건 (나)에 의하여 ${\vec{\mathrm{AB}}} = 4 {\vec{\mathrm{QP}}}$이므로 두 벡터 ${\vec{\mathrm{AB}}}$, ${\vec{\mathrm{QP}}}$는 방향이 서로 같고 $\displaystyle \left| {\vec{\mathrm{QP}}} \right| = \frac{1}{4} \left| {\vec{\mathrm{AB}}} \right| = 1$이므로 점 $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{P}$를 $x$축의 방향으로 $\mathrm{-} 1$만큼 평행이동한 점과 일치한다. 그러므로 점 $\mathrm{Q}$는 곡선 $\left( x - 3 \right) ^{2} + y ^{2} = 4 \left( y \geq 0 \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 위에 있다. $| {\vec{\mathrm{QA}}} | = 2$이므로 점 $\mathrm{Q}$는 중심이 $\mathrm{A}$이고 반지름의 길이가 $\mathrm{2}$인 원 $\left( x - 2 \right) ^{2} + y ^{2} = 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 위에 있다. 두 식 ㉠, ㉡을 연립하면 $\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{\left( \frac{5}{2} , \frac{\sqrt{15}}{2} \right)}$, $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( \frac{7}{2} , \frac{\sqrt{15}}{2} \right)}$ $\displaystyle {\vec{\mathrm{AP}}} = \left( \frac{3}{2} , \frac{\sqrt{15}}{2} \right)$, $\displaystyle {\vec{\mathrm{AQ}}} = \left( \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{15}}{2} \right)$ ${\vec{\mathrm{AP}}} \bullet {\vec{\mathrm{AQ}}}$$\displaystyle = \left( \frac{3}{2} , \frac{\sqrt{15}}{2} \right) \bullet \left( \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{15}}{2} \right)$ $\displaystyle = \frac{3}{4} + \frac{15}{4} = \frac{9}{2}$ 따라서 $20 \times k = 90$ [다른 풀이] 조건 (가)에 의하여 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 위의 점 중 $y$좌표가 $\mathrm{0}$ 이상인 점이다. 조건 (나)에 의하여 ${\vec{\mathrm{AB}}} = 4 {\vec{\mathrm{QP}}}$이므로 두 벡터 ${\vec{\mathrm{AB}}}$, ${\vec{\mathrm{QP}}}$는 방향이 서로 같고 $| {\vec{\mathrm{QP}}} | = 1$이므로 점 $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{P}$를 벡터 ${\vec{\mathrm{AB}}}$의 방향으로 $\mathrm{-} 1$만큼 평행이동한 점과 일치한다. $| {\vec{\mathrm{QA}}} | = 2$를 만족시키는 점 $\mathrm{Q}$는 중심이 $\mathrm{A}$이고 반지름의 길이가 $\mathrm{2}$인 원 위에 있으므로 조건을 만족시키는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 위치는 다음 그림과 같다.

선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하고 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$에서 직선 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AS}}} = {\overline{}} = \frac{1}{2}$ ${\vec{\mathrm{AP}}} \bullet {\vec{\mathrm{AQ}}}$$= \left( {\vec{\mathrm{AQ}}} + {\vec{\mathrm{QP}}} \right) \bullet {\vec{\mathrm{AQ}}}$ $= \left| {\vec{\mathrm{AQ}}} \right| ^{2} + {\vec{\mathrm{QP}}} \bullet {\vec{\mathrm{AQ}}}$ $= 4 + {\vec{\mathrm{SR}}} \bullet {\vec{\mathrm{AQ}}}$ $= 4 + 2 {\vec{\mathrm{AS}}} \bullet {\vec{\mathrm{AQ}}}$ $\displaystyle = 4 + 2 \left| {\vec{\mathrm{AS}}} \right| ^{2} = \frac{9}{2}$ 따라서 $20 \times k = 90$