벡터 조건과 최대최소

삼각형 ${\mathrm{ABC}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{AC}}}$인 이등변삼각형이다. 선분 ${\mathrm{BC}}$의 중점을 원점 ${\mathrm{O}} \left( 0 , 0 \right)$으로 하고 선분 ${\mathrm{BC}}$를 $x$축에 놓고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 16$이므로 ${\mathrm{B}} \left( - 8 , 0 \right)$, ${\mathrm{C}} \left( 8 , 0 \right)$이라 하자. 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표를 $\left( 0 , y \right)$ ($y > 0$)이라 하면, 삼각형 ${\mathrm{AOC}}$에서 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AO}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{OC}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2}$, $\displaystyle y ^{2} + 8 ^{2} = \left( 8 \sqrt{5} \right) ^{2}$ $y ^{2} = 256$, $y = 16$ 따라서 ${\mathrm{A}} \left( 0 , 16 \right)$, ${\mathrm{B}} \left( - 8 , 0 \right)$, ${\mathrm{C}} \left( 8 , 0 \right)$이다. 직선 ${\mathrm{AB}}$의 방정식은 $\displaystyle y - 0 = \frac{16 - 0}{0 - \left( - 8 \right)} \left\{ x - \left( - 8 \right) \right\}$, $y = 2 x + 16$ 직선 ${\mathrm{AC}}$의 방정식은 $\displaystyle y - 0 = \frac{16 - 0}{0 - 8} \left( x - 8 \right)$, $y = - 2 x + 16$ 점 ${\mathrm{Q}}$는 선분 ${\mathrm{BC}}$ 위의 점이므로 ${\mathrm{Q}} \left( q , 0 \right)$ ($- 8 \leq q \leq 8$)이라 하면 조건 (가)에서 $\left( {\vec{\mathrm{PB}}} + {\vec{\mathrm{PQ}}} \right) \bullet {\vec{\mathrm{BC}}} = 0$이고, 점 ${\mathrm{B}}$와 ${\mathrm{Q}}$의 중점을 ${\mathrm{M}}$이라 할 때 ${\vec{\mathrm{PB}}} + {\vec{\mathrm{PQ}}} = 2 {\vec{\mathrm{PM}}}$ 즉, $2 {\vec{\mathrm{PM}}} \bullet {\vec{\mathrm{BC}}} = 0$이므로 ${\vec{\mathrm{PM}}} \perp {\vec{\mathrm{BC}}}$이다. ${\vec{\mathrm{BC}}} = \left( 16 , 0 \right)$이므로 $x$축과 평행하므로 ${\vec{\mathrm{PM}}}$은 $y$축과 평행하다. 따라서 점 ${\mathrm{P}}$와 점 ${\mathrm{M}}$의 $x$좌표가 같으므로 점 ${\mathrm{P}}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{q - 8}{2}$ 점 ${\mathrm{P}}$는 직선 ${\mathrm{AB}}$ 위의 점이므로 $\displaystyle y = 2 \left( \frac{q - 8}{2} \right) + 16 = q - 8 + 16 = q + 8$ $\displaystyle \therefore {\mathrm{P}} \left( \frac{q - 8}{2} , q + 8 \right)$ 마찬가지로 $\left( {\vec{\mathrm{RC}}} + {\vec{\mathrm{RQ}}} \right) \bullet {\vec{\mathrm{BC}}} = 0$에서 점 ${\mathrm{R}}$의 $x$좌표는 점 ${\mathrm{C}}$와 ${\mathrm{Q}}$의 중점의 $x$좌표와 같다. 점 ${\mathrm{R}}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{8 + q}{2}$이다. 점 ${\mathrm{R}}$은 직선 ${\mathrm{AC}}$ 위의 점이므로 $\displaystyle y = - 2 \left( \frac{q + 8}{2} \right) + 16 = - q - 8 + 16 = 8 - q$이다. $\displaystyle \therefore {\mathrm{R}} \left( \frac{q + 8}{2} , 8 - q \right)$ 조건 (나)에서 ${\vec{\mathrm{QP}}} \bullet {\vec{\mathrm{QR}}} = \left| {\vec{\mathrm{QP}}} \right| ^{2}$이므로 ${\vec{\mathrm{QP}}} \bullet {\vec{\mathrm{QR}}} - \left| {\vec{\mathrm{QP}}} \right| ^{2} = 0$, ${\vec{\mathrm{QP}}} \bullet \left( {\vec{\mathrm{QR}}} - {\vec{\mathrm{QP}}} \right) = 0$ ${\vec{\mathrm{QP}}} \bullet {\vec{\mathrm{PR}}} = 0$, 즉 ${\vec{\mathrm{QP}}} \perp {\vec{\mathrm{PR}}}$ $\displaystyle {\vec{\mathrm{PQ}}} = \left( q - \frac{q - 8}{2} , 0 - \left( q + 8 \right) \right) = \left( \frac{q + 8}{2} , - q - 8 \right)$ $\displaystyle {\vec{\mathrm{PR}}} = \left( \frac{q + 8}{2} - \frac{q - 8}{2} , \left( 8 - q \right) - \left( q + 8 \right) \right) = \left( 8 , - 2 q \right)$ ${\vec{\mathrm{PQ}}} \bullet {\vec{\mathrm{PR}}}$$\displaystyle = \left( \frac{q + 8}{2} \right) \times 8 + \left( - q - 8 \right) \times \left( - 2 q \right)$ $= 4 \left( q + 8 \right) + 2 q \left( q + 8 \right)$ $= \left( q + 8 \right) \left( 4 + 2 q \right)$ $\therefore \left( q + 8 \right) \left( 4 + 2 q \right) = 0$ $q = - 8$ 또는 $q = - 2$에서 $\left| {\vec{\mathrm{PQ}}} \right| > 0$이므로 서로 다른 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$에 대해 $q = - 8$이면 ${\mathrm{Q}} \left( - 8 , 0 \right)$, ${\mathrm{P}} \left( - 8 , 0 \right)$이 되어 조건에 맞지 않는다. 따라서 $q = - 2$이고 점 ${\mathrm{P}}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$의 좌표는 다음과 같다. ${\mathrm{Q}} \left( - 2 , 0 \right)$ $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( \frac{- 2 - 8}{2} , - 2 + 8 \right)$, 즉 ${\mathrm{P}} \left( - 5 , 6 \right)$ $\displaystyle {\mathrm{R}} \left( \frac{- 2 + 8}{2} , 8 - \left( - 2 \right) \right)$, 즉 ${\mathrm{R}} \left( 3 , 10 \right)$

$\displaystyle 3 {\vec{\mathrm{XP}}} + {\vec{\mathrm{XR}}} = 4 \times \frac{3 {\vec{\mathrm{XP}}} + {\vec{\mathrm{XR}}}}{3 + 1}$이므로 선분 ${\mathrm{PR}}$을 $1 : 3$으로 내분하는 점을 ${\mathrm{S}}$라 하면 $3 {\vec{\mathrm{XP}}} + {\vec{\mathrm{XR}}} = 4 {\vec{\mathrm{XS}}}$ $\left| 3 {\vec{\mathrm{XP}}} + {\vec{\mathrm{XR}}} \right| = \left| {\vec{\mathrm{PR}}} \right|$에서 $\left| 4 {\vec{\mathrm{XS}}} \right| = \left| {\vec{\mathrm{PR}}} \right|$, 즉 $\displaystyle \left| {\vec{\mathrm{XS}}} \right| = \frac{1}{4} \left| {\vec{\mathrm{PR}}} \right|$ 따라서 점 ${\mathrm{X}}$는 점 ${\mathrm{S}}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{4} \left| {\vec{\mathrm{PR}}} \right|$인 원 위의 점이다. 점 ${\mathrm{S}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{1 \cdot 3 + 3 \cdot \left( - 5 \right)}{1 + 3} , \frac{1 \cdot 10 + 3 \cdot 6}{1 + 3} \right)$, 즉 $\left( - 3 , 7 \right)$ 원의 반지름의 길이를 $r$이라 하면 $\left| {\vec{\mathrm{PR}}} \right| ^{2}$$= \left\{ 3 - \left( - 5 \right) \right\} ^{2} + \left( 10 - 6 \right) ^{2}$$= 80$ $\displaystyle \left| {\vec{\mathrm{PR}}} \right| = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}$ $\displaystyle \therefore r = \frac{1}{4} \left| {\vec{\mathrm{PR}}} \right| = \sqrt{5}$ 점 ${\mathrm{X}}$는 중심이 ${\mathrm{S}} \left( - 3 , 7 \right)$이고 반지름이 $\displaystyle \sqrt{5}$인 원 위의 점이므로 $\left| {\vec{\mathrm{BX}}} \right|$는 점 ${\mathrm{B}} \left( - 8 , 0 \right)$와 원 위의 점 ${\mathrm{X}}$ 사이의 거리이다. 점 ${\mathrm{B}}$와 중심 ${\mathrm{S}}$ 사이의 거리는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BS}}}$$\displaystyle = \sqrt{\left\{ - 3 - \left( - 8 \right) \right\} ^{2} + \left( 7 - 0 \right) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{74}$ $\left| {\vec{\mathrm{BX}}} \right|$의 최댓값은 $\displaystyle M = {\overline{\mathrm{BS}}} + r = \sqrt{74} + \sqrt{5}$ $\left| {\vec{\mathrm{BX}}} \right|$의 최솟값은 $\displaystyle m = {\overline{\mathrm{BS}}} - r = \sqrt{74} - \sqrt{5}$ 따라서 구하는 값은 $\displaystyle M \times m = \left( \sqrt{74} + \sqrt{5} \right) \left( \sqrt{74} - \sqrt{5} \right) = 74 - 5 = 69$