벡터 조건 점의 집합

조건 (가)에서 점 $\mathrm{X}$는 중심이 $\mathrm{A} \mathit{\left( 9 , 0 \right)}$이고 반지름의 길이가 $\mathrm{2}$인 원 $C _{1}$ 위의 점이다. 원 $C _{1}$ 위의 점 $\mathrm{X}$ 중에서 $x$좌표가 최대인 점의 좌표는 $\left( 11 , 0 \right)$이다. 조건 (나)에서 $\mathrm{0}$이 아닌 실수 $k$에 대하여 $k {\vec{\mathrm{BX}}}$의 종점을 $\mathrm{X} \mathit{'}$이라 하면 ${\vec{\mathrm{OB}}} + k {\vec{\mathrm{BX}}} = {\vec{\mathrm{OB}}} + {\vec{\mathrm{BX} \mathit{'}}} = {\vec{\mathrm{OX} \mathit{'}}}$이므로 $\mathrm{X}'$은 원점 $\mathrm{O}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\mathrm{4}$인 원 $C _{2}$ 위의 점이다. 즉, 집합 $S$에 속하는 점 $\mathrm{X}$에 대해 직선 $\mathrm{BX}$는 원 $C _{2}$와 만난다.

점 $\mathrm{B}$에서 원 $C _{2}$에 그은 접선의 기울기를 $m$이라 하면 접선의 방정식은 $y = m \left( x - 8 \right) + 1$, $mx - y + \left( 1 - 8 m \right) = 0$ 원점과 직선 $mx - y + \left( 1 - 8 m \right) = 0$ 사이의 거리가 $\mathrm{4}$이므로 $\displaystyle \frac{\left| 1 - 8 m \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = 4$ $\left( 1 - 8 m \right) ^{2} = 16 \left( m ^{2} + 1 \right)$, $\left( 4 m - 3 \right) \left( 12 m + 5 \right) = 0$ $\displaystyle m = - \frac{5}{12}$ 또는 $\displaystyle m = \frac{3}{4}$ 집합 $S$에 속한 모든 점 $\mathrm{X}$에 대하여 직선 $\mathrm{BX}$의 기울기는 $\displaystyle - \frac{5}{12}$ 이상 $\displaystyle \frac{3}{4}$ 이하이다. 두 점 $\mathrm{B} \mathit{\left( 8 , 1 \right)}$과 $\left( 11 , 0 \right)$을 지나는 직선의 기울기가 $\displaystyle \frac{0 - 1}{11 - 8} = - \frac{1}{3} > - \frac{5}{12}$이므로 점 $\left( 11 , 0 \right)$은 집합 $S$에 속하고 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\left( 11 , 0 \right)$이다. ${\vec{\mathrm{OP}}} = \left( 11 , 0 \right)$, ${\vec{\mathrm{BP}}} = \left( 3 , - 1 \right)$이므로 ${\vec{\mathrm{OP}}} \bullet {\vec{\mathrm{BP}}} = \left| {\vec{\mathrm{OP}}} \right| \left| {\vec{\mathrm{BP}}} \right| \cos \theta$ $\displaystyle 11 \times 3 + 0 \times \left( - 1 \right) = 11 \times \sqrt{3 ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2}} \times \cos \theta$ $\displaystyle \cos \theta = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$