벡터 합의 영역 넓이

[출제의도] 벡터의 합을 이용하여 점 $\mathrm{X}$가 나타내는 영역을 나타낼 수 있고 타원의 접선의 방정식을 구할 수 있는가 $\mathrm{\vec{OQ}} = \mathrm{\vec{PQ'}}$이 되는 점을 잡으면 점 $\mathrm{Q}'$은 타원 $2 x ^{2} + y ^{2} = 3$을 중심이 $\mathrm{P}$가 되도록 평행이동시킨 타원 위의 점이다. 이때, $\mathrm{\vec{OX}}$$= \mathrm{\vec{OP}} + {\vec{OQ}}$$= \mathrm{\vec{OP}} + {\vec{PQ'}}$$= \mathrm{\vec{OQ'}}$

한편, 타원 $2 x ^{2} + y ^{2} = 3$에 접하고 직선 $2 x + y = 0$에 평행한 접선의 방정식은 $\displaystyle y = \mathit{-} 2 x {plus \min us} \sqrt{\frac{3}{2} \times \left( - 2 \right) ^{2} + 3}$ $y = \mathit{-} 2 x {plus \min us} 3$ 그러므로 점 $\mathrm{X}$가 나타내는 점은 직선 $y = \mathit{-} 2 x + 3$ 또는 이 직선의 아래쪽 부분과 직선 $y = \mathit{-} 2 x - 3$ 또는 이 직선의 위쪽 부분의 공통부분이다. 그러므로 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 $0$ 이상인 모든 점 $\mathrm{X}$가 나타내는 영역은 직선 $y = \mathit{-} 2 x + 3$과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 부분이다. 이때 직선 $y = \mathit{-} 2 x + 3$이 $x$축과 만나는 점의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{3}{2} , 0 \right)$, $y$축과 만나는 점의 좌표는 $\left( 0 , 3 \right)$이므로 구하는 영역의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times 3 = \frac{9}{4}$ 따라서 $p = 4$, $q = 9$이므로 $p + q = 4 + 9 = 13$