기하평면벡터수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

벡터 합의 크기 최대최소

문제

그림과 같이 AD‾=83\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = 8 \sqrt{3}인 직사각형 ABCD{\mathrm{ABCD}}가 있다. 두 점 E{\mathrm{E}}, F{\mathrm{F}}가 점 E{\mathrm{E}}는 선분 AD{\mathrm{AD}} 위를, 점 F{\mathrm{F}}는 선분 BC{\mathrm{BC}} 위를 ∠CFE=60∘\angle {\mathrm{CFE}} = \mathit{60} ^\circ를 만족시키며 움직인다. 선분 EF{\mathrm{EF}}를 1:21 : 2로 내분하는 점을 G{\mathrm{G}}라 할 때, 점 G{\mathrm{G}}가 다음 조건을 만족시킨다.

∣GA⃗+GC⃗∣\left| {\vec{\mathrm{GA}}} + {\vec{\mathrm{GC}}} \right|의 최댓값을 MM, 최솟값을 mm이라 할 때, M:m=13:1\displaystyle M : m = \sqrt{13} : 1이다.

∣GA⃗+GC⃗∣\left| {\vec{\mathrm{GA}}} + {\vec{\mathrm{GC}}} \right|의 값이 최대일 때의 점 G{\mathrm{G}}를 G1{\mathrm{G}} \mathit{_{1}}, 최소일 때의 점 G{\mathrm{G}}를 G2{\mathrm{G}} \mathit{_{2}}라 하자. 삼각형 BG1G2{\mathrm{BG}} \mathit{_{1}} {\mathrm{G}} \mathit{_{2}}의 넓이를 SS라 할 때, S2S ^{2}의 값을 구하시오. (단, AB‾≤18\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} \leq 18) [4점]

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243

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해설

점 G{\mathrm{G}}에서 선분 AD{\mathrm{AD}}에 내린 수선의 발을 H1{\mathrm{H}} \mathit{_{1}}, 선분 BC{\mathrm{BC}}에 내린 수선의 발을 H2{\mathrm{H}} \mathit{_{2}}라 하자. 점 G{\mathrm{G}}는 선분 EF{\mathrm{EF}}를 1:21 : 2로 내분하는 점이므로 삼각형 EH1G{\mathrm{EH}} \mathit{_{1}} {\mathrm{G}}와 삼각형 FH2G{\mathrm{FH}} \mathit{_{2}} {\mathrm{G}}는 서로 닮음이고 닮음비는 1:21 : 2이다. 그러므로 GH2‾=2GH1‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{GH}} \mathit{_{2}}}} = 2 {\overline{{\mathrm{GH}} \mathit{_{1}}}}이고, GH1‾+GH2‾=AB‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{GH}} \mathit{_{1}}}} + {\overline{{\mathrm{GH}} \mathit{_{2}}}} = {\overline{\mathrm{AB}}}이므로 GH1‾=13AB‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{GH}} \mathit{_{1}}}} = \frac{1}{3} {\overline{\mathrm{AB}}}, GH2‾=23AB‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{GH}} \mathit{_{2}}}} = \frac{2}{3} {\overline{\mathrm{AB}}} ∣GA⃗+GC⃗∣\left| {\vec{\mathrm{GA}}} + {\vec{\mathrm{GC}}} \right|=∣(GH1⃗+H1A⃗)+(GH2⃗+H2C⃗)∣= \left| \left( {\vec{{\mathrm{GH}} \mathit{_{1}}}} + {\vec{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} \right) + \left( {\vec{{\mathrm{GH}} \mathit{_{2}}}} + {\vec{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}} \right) \right| =∣(GH1⃗+GH2⃗)+(H1A⃗+H2C⃗)∣= \left| \left( {\vec{{\mathrm{GH}} \mathit{_{1}}}} + {\vec{{\mathrm{GH}} \mathit{_{2}}}} \right) + \left( {\vec{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} + {\vec{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}} \right) \right| =∣(−13AB⃗+23AB⃗)+(H1A⃗+H2C⃗)∣\displaystyle = \left| \left( - \frac{1}{3} {\vec{\mathrm{AB}}} + \frac{2}{3} {\vec{\mathrm{AB}}} \right) + \left( {\vec{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} + {\vec{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}} \right) \right| =∣13AB⃗+(H1A⃗+H2C⃗)∣\displaystyle = \left| \frac{1}{3} {\vec{\mathrm{AB}}} + \left( {\vec{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} + {\vec{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}} \right) \right| =23AB⃗+23AB⃗+23AB⃗\displaystyle = \frac{2}{3} {\vec{\mathrm{AB}}} + \frac{2}{3} {\vec{\mathrm{AB}}} + \frac{2}{3} {\vec{\mathrm{AB}}}

벡터 AB⃗{\vec{\mathrm{AB}}}와 벡터 H1A⃗+H2C⃗{\vec{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} + {\vec{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}}는 서로 수직이므로 ∣GA⃗+GC⃗∣\left| {\vec{\mathrm{GA}}} + {\vec{\mathrm{GC}}} \right|=∣13AB⃗∣2+∣H1A⃗+H2C⃗∣2\displaystyle = \sqrt{\left| \frac{1}{3} {\vec{\mathrm{AB}}} \right| ^{2} + \left| {\vec{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} + {\vec{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}} \right| ^{2}} =(13AB⃗)2+∣H1A⃗−H2C⃗∣2\displaystyle = \sqrt{\left( \frac{1}{3} {\vec{\mathrm{AB}}} \right) ^{2} + \left| {\vec{\mathrm{H} \mathit{_{1}} \mathrm{A}}} - {\vec{\mathrm{H} \mathit{_{2}} \mathrm{C}}} \right| ^{2}} ⋯\cdots⋯\cdots ㉠ 그러므로 ∣GA⃗+GC⃗∣\left| {\vec{\mathrm{GA}}} + {\vec{\mathrm{GC}}} \right|의 값은 H1A‾=H2C‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} = {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}}일 때 최소이고, 그 값은 13AB‾\displaystyle \frac{1}{3} {\overline{\mathrm{AB}}}이다. 즉, m=13AB‾\displaystyle m = \frac{1}{3} {\overline{\mathrm{AB}}}

또한 ∣GA⃗+GC⃗∣\left| {\vec{\mathrm{GA}}} + {\vec{\mathrm{GC}}} \right|는 ∣H1A‾−H2C‾∣\displaystyle \left| {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} - {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}} \right|의 값이 최대일 때 최댓값 MM을 갖는다. (ⅰ) H1A‾≤H2C‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} \leq {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}}일 때 ∣H1A‾−H2C‾∣\displaystyle \left| {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} - {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}} \right|=H2C‾−H1A‾\displaystyle = {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}} - {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} =(83−H1A‾)−H1A‾\displaystyle = \left( 8 \sqrt{3} - {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} \right) - {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} =83−2H1A‾\displaystyle = 8 \sqrt{3} - 2 {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} H1A‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}}의 값은 점 F{\mathrm{F}}가 점 B{\mathrm{B}}와 일치할 때 최소이고 그 값은 FH2‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{FH}} \mathit{_{2}}}}와 같으므로 233m\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3} m이다. 그러므로 H1A‾≤H2C‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} \leq {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}}일 때| ∣H1A‾−H2C‾∣\displaystyle \left| {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} - {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}} \right|의 최댓값은 83−433m\displaystyle 8 \sqrt{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} m

(ⅱ) H1A‾>H2C‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} > {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}}일 때 ∣H1A‾−H2C‾∣\displaystyle \left| {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} - {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}} \right|=H1A‾−H2C‾\displaystyle = {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} - {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}} =(83−H2C‾)−H2C‾\displaystyle = \left( 8 \sqrt{3} - {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}} \right) - {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}} =83−2H2C‾\displaystyle = 8 \sqrt{3} - 2 {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}} H2C‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}}의 값은 점 E{\mathrm{E}}가 점 D{\mathrm{D}}와 일치할 때 최소이고 그 값은 EH1‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{EH}} \mathit{_{1}}}}과 같으므로 33m\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} m이다. 그러므로 H1A‾>H2C‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} > {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}}일 때 ∣H1A‾−H2C‾∣\displaystyle \left| {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} - {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}} \right|의 최댓값은 83−233m\displaystyle 8 \sqrt{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} m

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 점 E{\mathrm{E}}가 점 D{\mathrm{D}}와 일치할 때 ∣H1A‾−H2C‾∣\displaystyle \left| {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} - {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}} \right|는 최댓값 83−233m\displaystyle 8 \sqrt{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} m을 가진다. 이때 ∣GA⃗+GC⃗∣=M\left| {\vec{\mathrm{GA}}} + {\vec{\mathrm{GC}}} \right| = M이고, ㉠에서 ∣H1A⃗−H2C⃗∣=∣GA⃗+GC⃗∣2−m2\displaystyle \left| {\vec{{\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}}}} - {\vec{{\mathrm{H}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}}}} \right| = \sqrt{\left| {\vec{\mathrm{GA}}} + {\vec{\mathrm{GC}}} \right| ^{2} - m ^{2}}이므로 83−233m\displaystyle 8 \sqrt{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} m=M2−m2\displaystyle = \sqrt{M ^{2} - m ^{2}} =(13m)2−m2=23m\displaystyle = \sqrt{\left( \sqrt{13} m \right) ^{2} - m ^{2}} = 2 \sqrt{3} m 그러므로 m=3m = 3, AB‾=3m=9\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 3 m = 9 두 점 G1{\mathrm{G}} \mathit{_{1}}, G2{\mathrm{G}} \mathit{_{2}}의 위치는 그림과 같다.

점 G1{\mathrm{G}} \mathit{_{1}}에서 선분 CD{\mathrm{CD}}에 내린 수선의 발을 H3{\mathrm{H}} \mathit{_{3}}이라 하면 G1G2‾=G2H3‾−G1H3‾=43−3=33\displaystyle {\overline{{\mathrm{G}} \mathit{_{1}} {\mathrm{G}} \mathit{_{2}}}} = {\overline{{\mathrm{G}} \mathit{\mathit{_{2}}} {\mathrm{H}} \mathit{_{3}}}} - {\overline{{\mathrm{G}} \mathit{\mathit{_{1}}} {\mathrm{H}} \mathit{_{3}}}} = 4 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}, H3C‾=CD‾−DH3‾=9−3=6\displaystyle {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{_{3}} {\mathrm{C}}}} = {\overline{\mathrm{CD}}} - {\overline{{\mathrm{DH}} \mathit{_{3}}}} = 9 - 3 = 6 그러므로 삼각형 BG1G2{\mathrm{BG}} \mathit{_{1}} {\mathrm{G}} \mathit{_{2}}의 넓이 SS는 S=12×33×6=93\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 3 \sqrt{3} \times 6 = 9 \sqrt{3} 따라서 S2=(93)2=243\displaystyle S ^{2} = \left( 9 \sqrt{3} \right) ^{2} = 243

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#벡터의 크기#자취#최대최소

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