기하평면벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

벡터 합의 자취

문제

좌표평면 위의 세 점 P, Q, R 가 다음 두 조건 (가)와 (나)를 만족시킨다.

(가) 두 점 P\mathrm{P}와 Q\mathrm{Q}는 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이다. (나) OP⃗+OQ⃗=OR⃗\mathrm{\vec{OP}} + \vec{OQ} = \vec{OR} (단, O\mathrm{O}는 원점)

점 P\mathrm{P}가 원점을 중심으로 하는 단위원 위를 움직일 때, 점 R\mathrm{R}는 어떤 도형 위를 움직이는가? [2점] ①점②타원③선분④쌍곡선⑤평행사변형

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③

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해설

∣OP⃗∣=1| \vec{OP} | = 1이므로 OP⃗=(cos⁡θ,sin⁡θ)\vec{OP} = ( \cos \theta , \sin \theta )라 놓으면 OQ⃗=(sin⁡θ,cos⁡θ)\vec{OQ} = ( \sin \theta , \cos \theta ) OR⃗=OP⃗+OQ⃗\vec{OR} = \vec{OP} + \vec{OQ}=(cos⁡θ+sin⁡θ,cos⁡θ+sin⁡θ)= ( \cos \theta + \sin \theta , \cos \theta + \sin \theta ) OR⃗=(x,y)\vec{OR} = ( x , y )로 놓으면 x=yx = y이고, x=cos⁡θ+sin⁡θx = \cos \theta + \sin \theta=2sin⁡(θ+π4)\displaystyle = \sqrt{2} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) ∣x∣≤2\displaystyle | x | \leq \sqrt{2} 즉, 자취는 선분이다.

태그

#벡터의 합#자취

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