기하평면벡터수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

벡터 합 영역 내적

문제

좌표평면에서 곡선 C:y=8−x2(2≤x≤22)\displaystyle C : y = \sqrt{8 - x ^{2}} ( 2 \leq x \leq 2 \sqrt{2} ) 위의 점 P{\mathrm{P}}에 대하여 OQ‾=2\displaystyle \overline{{\mathrm{OQ}}} = 2, ∠POQ=π4\displaystyle \angle {\mathrm{POQ}} = \frac{\pi}{4}를 만족시키고 직선 OP{\mathrm{OP}}의 아랫부분에 있는 점을 Q{\mathrm{Q}}라 하자. 점 P{\mathrm{P}}가 곡선 CC 위를 움직일 때, 선분 OP{\mathrm{OP}} 위를 움직이는 점 X{\mathrm{X}}와 선분 OQ{\mathrm{OQ}} 위를 움직이는 점 Y{\mathrm{Y}}에 대하여

OZ⃗=OP⃗+OX⃗+OY⃗\mathrm{\vec{OZ}} = \vec{OP} + \vec{OX} + \vec{OY}

를 만족시키는 점 Z{\mathrm{Z}}가 나타내는 영역을 DD라 하자. 영역 DD에 속하는 점 중에서 yy축과의 거리가 최소인 점을 R{\mathrm{R}}라 할 때, 영역 DD에 속하는 점 Z{\mathrm{Z}}에 대하여 OR⃗⋅OZ⃗\vec{{\mathrm{OR}}} \cdot \vec{{\mathrm{OZ}}}의 최댓값과 최솟값의 합이 a+b2\displaystyle a + b \sqrt{2}이다. a+ba + b의 값을 구하시오. (단, O{\mathrm{O}}는 원점이고, aa와 bb는 유리수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 벡터의 연산에서 총점의 위치를 이해하고 벡터의 내적의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는가? 좌표평면에서 곡선 C\mathrm{C}와 점 Q\mathrm{Q}가 나타내는 곡선은 그림과 같다.

이때, OP⃗+OX⃗=OA⃗\mathrm{\vec{OP}} + \vec{OX} = \vec{OA}라 하면 점 A\mathrm{A}와 OY⃗\mathrm{\vec{OY}}가 나타내는 점 Y\mathrm{Y}는 그림의 색칠된 부분에 존재한다.

따라서 OZ⃗=OP⃗+OX⃗+OY⃗=OA⃗+OY⃗\mathrm{\vec{OZ}} = \vec{OP} + \vec{OX} + \vec{OY} = \vec{OA} + \vec{OY}를 만족시키는 점 Z\mathrm{Z}가 나타내는 영역 D\mathrm{D}의 그림의 색칠된 부분이다.

따라서 영역 D\mathrm{D}에 속하는 점 중에서 yy축과의 거리가 최소인 점 R(2,2)\mathrm{R} ( 2 , 2 )이므로 OR⃗∙OZ⃗\mathrm{\vec{OR}} \bullet \vec{OZ}의 최솟값 mm은 점 Z\mathrm{Z}가 두 점 (22,0),(32,−2)\displaystyle ( 2 \sqrt{2} , 0 ) , ( 3 \sqrt{2} , - \sqrt{2} )을 잇는 선분 위의 점일 때이므로 m=2×22=42\displaystyle m = 2 \times 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} OR⃗∙OZ⃗\mathrm{\vec{OR}} \bullet \vec{OZ}의 최댓값 M\mathrm{M}은 점 Z(6,4)\mathrm{Z} ( 6 , 4 )일 때이므로 M=2×6+2×4=20\mathrm{M} = 2 \times 6 + 2 \times 4 = 20 따라서 M+m=20+42\displaystyle \mathrm{M} + \mathit{m} = 20 + 4 \sqrt{2}이므로 a=20,b=4a = 20 , b = 4 즉, a+b+24a + b + 24

태그

#벡터#영역#내적

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