기하평면벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

벡터 합 크기 최댓값

문제

$\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 8$ , $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 6$ 인 직사각형 $\mathrm{ABCD}$ 에 대하여 네 선분 $\mathrm{AB}$ , $\mathrm{CD}$ , $\mathrm{DA}$ , $\mathrm{B} D$ 의 중점을 각각 $\mathrm{E}$ , $\mathrm{F}$ , $\mathrm{G}$ , $\mathrm{H}$ 라 하자. 선분 $\mathrm{C} F$ 를 지름으로 하는 원 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 $\left| \vec{\mathrm{EG}} + \vec{\mathrm{HP}} \right|$ 의 최댓값은? [4점] ① $8$ ② $\displaystyle 2 + 2 \sqrt{10}$ ③ $\displaystyle 2 + 2 \sqrt{11}$ ④ $\displaystyle 2 + 4 \sqrt{3}$ ⑤ $\displaystyle 2 + 2 \sqrt{13}$

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②

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해설

[출제의도] 벡터의 기하학적인 성질을 이용하여 두 벡터의 합의 크기의 최댓값을 추론한다.

$\left| \mathrm{\vec{EG}} + {\vec{\mathrm{HP}}} \right| = \left| \mathrm{\vec{BH}} + {\vec{\mathrm{HP}}} \right| = \left| {\vec{\mathrm{BP}}} \right|$ 이므로 $\left| \mathrm{\vec{EG}} + \right. {\mathrm{HP}} |$ 의 최댓값은 $\left| \mathrm{\vec{BP}} \right|$ 의 최댓값과 같다. 즉, 원 밖의 한 점 $\mathrm{B}$ 에서 원 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 이르는 거리의 최댓값이다. 따라서 원의 중심을 $\mathrm{O}$ 라 하면 $\left| \mathrm{\vec{BP}} \right|$ 의 최댓값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{BO}} + 2$ $\displaystyle = \sqrt{6 ^{2} + 2 ^{2}} + 2$ $\displaystyle = 2 \sqrt{10} + 2$

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