벡터 합 크기 최댓값

[출제의도] 벡터의 합을 이해하고 벡터의 합의 크기가 최댓값을 가질 조건을 구할 수 있는가? $\mathrm{\left| \vec{OP} + \vec{OQ} \right|} \leq 5$이어야 하므로 $\mathrm{\vec{OP}} = \vec{QR}$를 만족시키는 점을 $\mathrm{R}$라 할 때, $\mathrm{\left| \vec{OP} + \vec{OQ} \right|} = \left| \vec{QR} + \vec{OQ} \right| = \left| \vec{OR} \right| \leq 5$을 만족시켜야 한다. 이때, 점 $\mathrm{P}$는 직선 $x = 1$을 움직이므로 점 $\mathrm{R}$의 좌표 중 $x$좌표가 가장 큰 점은 직선 $x = 4$를 움직인다. 그런데 점 $\mathrm{Q}$는 호 $\mathrm{AB}$ 위를 움직이므로 최댓값이 $5$가 되는 경우는 그림과 같이 두 가지 경우이다.

(ⅰ) 두 원 $x ^{2} + y ^{2} = 25 , ( x - 1 ) ^{2} + ( y - a ) ^{2} = 9$ 이 서로 내접하는 경우이므로 $\displaystyle \sqrt{1 ^{2} + a ^{2}} = 5 - 3 = 2$ $a ^{2} = 3$ 이때, $a > 0$이므로 $\displaystyle a = \sqrt{3}$ (ⅱ) 원 $x ^{2} + y ^{2} = 25$에서 $x = 4$일 때, $y = - 3$이므로 $a = - 3$이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 실수 $a$의 값의 곱은 $\displaystyle - 3 \sqrt{3}$이다.