기하평면벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

벡터 합 크기 최대최소

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 44인 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}에 대하여 점 A\mathrm{A}를 지나고 직선 BC\mathrm{BC}에 평행한 직선을 ll이라 할 때, 세 직선 AC,BC,l\mathrm{AC} , BC , \mathit{l}에 모두 접하는 원을 OO라 하자. 원 OO 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 ∣AC⃗+BP⃗∣\left| {\vec{\mathrm{AC}}} + {\vec{\mathrm{BP}}} \right|의 최댓값을 MM, 최솟값을 mm이라 할 때, MmMm의 값은? (단, 원 OO의 중심은 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 외부에 있다.) [3점]

①4646②4747③4848④4949⑤5050

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④

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해설

원의 중심을 O\mathrm{O}라 하면 BP⃗=BO⃗+OP⃗\vec{\mathrm{BP}} = \vec{\mathrm{BO}} + \vec{\mathrm{OP}} 이고 점 B\mathrm{B}를 원점으로 설정하면 점 A(2,23)\displaystyle \mathrm{A} ( 2 , 2 \sqrt{3} ), 점 C(4,0)\mathrm{C} ( 4 , 0 ), 점 O\mathrm{O}(5,3)\displaystyle ( 5 , \sqrt{3} )이고 반지름의 길이가 3\displaystyle \sqrt{3}이다. ∴AC⃗+BP⃗\therefore \vec{\mathrm{AC}} + \vec{\mathrm{BP}}=(AC⃗+BO⃗)+OP⃗= ( \vec{\mathrm{AC}} + \vec{\mathrm{BO}} ) + \vec{\mathrm{OP}} =(2,−23)+(5,3)+OP⃗\displaystyle = ( 2 , - 2 \sqrt{3} ) + ( 5 , \sqrt{3} ) + \mathrm{\vec{OP}} =(7,−3)+OP⃗\displaystyle = ( 7 , - \sqrt{3} ) + \vec{\mathrm{OP}} 최댓값은 중심을 지나고 일직선에서 반지름의 길이를 더한 값이고, 최솟값은 중심을 지나는 일직선에서 반지름의 길이를 뺀 값이다. BO‾=72+(−3)2=213\displaystyle \overline{\mathrm{BO}} = \sqrt{7 ^{2} + ( - \sqrt{3} ) ^{2}} = 2 \sqrt{13} 그러므로 최댓값은 213+3\displaystyle 2 \sqrt{13} + \sqrt{3}, 최솟값은 213−3\displaystyle 2 \sqrt{13} - \sqrt{3} ∴Mm=(213+3)(213−3)=52−3=49\displaystyle \therefore Mm = ( 2 \sqrt{13} + \sqrt{3} ) ( 2 \sqrt{13} - \sqrt{3} ) = 52 - 3 = 49

태그

#벡터의 크기#원#최대최소

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