기하평면벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

벡터 합 크기 최대최소

문제

좌표평면 위의 네 점 A(−2,0),B(1,0),C(2,1),D(0,1)\mathrm{A} \mathit{\left( - 2 , 0 \right)} , \mathrm{B} \mathit{\left( 1 , 0 \right)} , \mathrm{C} \mathit{\left( 2 , 1 \right)} , \mathrm{D} \mathit{\left( 0 , 1 \right)}이 있다. 반원의 호 (x+1)2+y2\left( x + 1 \right) ^{2} + y ^{2}=1= 1(0≤y≤10 \leq y \leq 1) 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}와 삼각형 BCD\mathrm{BCD} 위를 움직이는 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 ∣OP⃗+AQ⃗∣\left| {\vec{\mathrm{OP}}} + {\vec{\mathrm{AQ}}} \right|의 최댓값을 MM, 최솟값을 mm이라 하자. M2+m2M ^{2} + m ^{2}=p+2q\displaystyle = p + 2 \sqrt{q}일 때, p×qp \times q의 값을 구하시오. (단, O\mathrm{O}는 원점이고, pp와 qq는 유리수이다.) [4점]

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115

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해설

[출제의도] 벡터의 연산을 활용하여 문제해결하기 (ⅰ) 두 점 A,O\mathrm{A} , O의 중점을 M\mathrm{M}이라 하면 OM⃗+AM⃗{\vec{\mathrm{OM}}} + {\vec{\mathrm{AM}}}=0⃗= {\vec{\mathrm{0}}}이므로 OP⃗+AQ⃗{\vec{\mathrm{OP}}} + {\vec{\mathrm{AQ}}}=(OM⃗+MP⃗)+(AM⃗+MQ⃗)= \left( {\vec{\mathrm{OM}}} + {\vec{\mathrm{MP}}} \right) + \left( {\vec{\mathrm{AM}}} + {\vec{\mathrm{MQ}}} \right)=MP⃗+MQ⃗= {\vec{\mathrm{MP}}} + {\vec{\mathrm{MQ}}} ∣MP⃗∣\left| {\vec{\mathrm{MP}}} \right|=1= 1이므로 두 벡터 MP⃗{\vec{\mathrm{MP}}}, MQ⃗{\vec{\mathrm{MQ}}}의 방향이 같고 ∣MQ⃗∣\left| {\vec{\mathrm{MQ}}} \right|의 값이 최대일 때, ∣MP⃗+MQ⃗∣\left| {\vec{\mathrm{MP}}} + {\vec{\mathrm{MQ}}} \right|의 값은 최대이다. 그러므로 선분 MC\mathrm{MC}와 반원의 호가 만나는 점을 X\mathrm{X}라 하면 점 Q\mathrm{Q}가 점 C\mathrm{C}이고 점 P\mathrm{P}가 점 X\mathrm{X}일 때 ∣MP⃗+MQ⃗∣\left| {\vec{\mathrm{MP}}} + {\vec{\mathrm{MQ}}} \right|의 값은 최대이다. MC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{MC}}}=32+12\displaystyle = \sqrt{3 ^{2} + 1 ^{2}}=10\displaystyle = \sqrt{10}이므로 ∣MP⃗+MQ⃗∣\left| {\vec{\mathrm{MP}}} + {\vec{\mathrm{MQ}}} \right|≤\leq∣MX⃗+MC⃗∣\left| {\vec{\mathrm{MX}}} + {\vec{\mathrm{MC}}} \right|=10+1\displaystyle = \sqrt{10} + 1 따라서 MM=10+1\displaystyle = \sqrt{10} + 1 (ⅱ) OP⃗+AQ⃗{\vec{\mathrm{OP}}} + {\vec{\mathrm{AQ}}}=(OA⃗+AP⃗)+(AO⃗+OQ⃗)= \left( {\vec{\mathrm{OA}}} + {\vec{\mathrm{AP}}} \right) + \left( {\vec{\mathrm{AO}}} + {\vec{\mathrm{OQ}}} \right)=AP⃗+OQ⃗= {\vec{\mathrm{AP}}} + {\vec{\mathrm{OQ}}}

삼각형 BCD\mathrm{BCD} 위의 임의의 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 QY⃗{\vec{\mathrm{QY}}}=AP⃗= {\vec{\mathrm{AP}}}인 점을 Y\mathrm{Y}라 하자. ∣AP⃗+OQ⃗∣\left| {\vec{\mathrm{AP}}} + {\vec{\mathrm{OQ}}} \right|=∣QY⃗+OQ⃗∣= \left| {\vec{\mathrm{QY}}} + {\vec{\mathrm{OQ}}} \right|=∣OY⃗∣= \left| {\vec{\mathrm{OY}}} \right|≥∣OQ⃗∣\geq \left| {\vec{\mathrm{OQ}}} \right| 이므로 점 Y\mathrm{Y}가 점 Q\mathrm{Q}일 때 ∣AP⃗+OQ⃗∣\left| {\vec{\mathrm{AP}}} + {\vec{\mathrm{OQ}}} \right|의 값은 최소이다. 점 Q\mathrm{Q}가 선분 BD\mathrm{BD} 위에 있고 OQ‾⊥BD‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}}} \perp {\overline{\mathrm{BD}}}일 때 ∣OQ⃗∣\left| {\vec{\mathrm{OQ}}} \right|의 값은 최소이므로 mm=22\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} (ⅰ), (ⅱ)에 의해 M2+m2M ^{2} + m ^{2}=(11+210)+12\displaystyle = \left( 11 + 2 \sqrt{10} \right) + \frac{1}{2}=232+210\displaystyle = \frac{23}{2} + 2 \sqrt{10} 따라서 pp=232\displaystyle = \frac{23}{2}, qq=10= 10이므로 p×qp \times q=115= 115

태그

#벡터의 크기#최대최소#자취

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