벡터 합 조건 보기

[출제의도] 평면벡터의 성질을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하자. $\mathrm{2} {\vec{PA}} + {\vec{PB}} + {\vec{PC}} = {\vec{0}}$에서 $\displaystyle \mathrm{\vec{PA}} \mathit{=} - \frac{\mathrm{\vec{PB}} + {\vec{PC}}}{2}$이므로 $\mathrm{\vec{PA}} \mathit{=} - {\vec{\mathrm{PM}}}$ 따라서 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AM}$의 중점이다.

ㄱ. 삼각형 $\mathrm{PBC}$는 $\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} = {\overline{PC}}$인 이등변삼각형이므로 $\left| {\vec{\mathrm{PB}}} \right| = \left| {\vec{\mathrm{PC}}} \right|$ (참) ㄴ. 선분 $\mathrm{AM}$과 선분 $\mathrm{BC}$는 수직이고 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AM}$의 중점이므로 선분 $\mathrm{PA}$와 선분 $\mathrm{BC}$는 수직이다. 따라서 $\mathrm{\vec{PA}} \cdot {\vec{BC}} = 0$ (참) ㄷ. 두 삼각형 $\mathrm{ABP} , PBM$의 넓이는 같고, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{ABM}$의 넓이의 $2$배이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 넓이의 $4$배이다. 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 넓이가 $4$이면 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $16$ (거짓)