기하평면벡터수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

벡터 합 자취 길이

문제

좌표평면 위에 두 점 A(−2,2){\mathrm{A}} \mathit{(} - 2 , 2 ), B(2,2){\mathrm{B}} \mathit{(} 2 , 2 )가 있다. (∣AX⃗∣−2)(∣BX⃗∣−2)=0\left( | {\vec{{\mathrm{AX}}}} | - 2 \right) ( | {\vec{{\mathrm{BX}}}} | - 2 ) = 0, ∣OX⃗∣≥2| {\vec{{\mathrm{OX}}}} | \geq 2 를 만족시키는 점 X{\mathrm{X}}가 나타내는 도형 위를 움직이는 두 점 P{\mathrm{P}}, Q{\mathrm{Q}}가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) u⃗=(1,0){\vec{u}} = ( 1 , 0 )에 대하여 (OP⃗∙u⃗)(OQ⃗∙u⃗)≥0( {\vec{{\mathrm{OP}}}} \bullet {\vec{u}} ) ( {\vec{{\mathrm{OQ}}}} \bullet {\vec{u}} ) \geq 0이다. (나) ∣PQ⃗∣=2| {\vec{{\mathrm{PQ}}}} | = 2

OY⃗=OP⃗+OQ⃗{\vec{{\mathrm{OY}}}} = {\vec{{\mathrm{OP}}}} + {\vec{{\mathrm{OQ}}}}를 만족시키는 점 Y{\mathrm{Y}}의 집합이 나타내는 도형의 길이가 qp3π\displaystyle \frac{q}{p} \sqrt{3} \pi일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, O{\mathrm{O}}는 원점이고, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

점 XX는 점 AA를 중심으로 하고 반지름의 길이가 22인 원 또는 점 BB를 중심으로 하고 반지름의 길이가 22인 원 위에 있으면서 원점으로부터의 거리가 22이상인 점이므로 자취는 다음과 같다.

조건 (가)에서 두점 PP, QQ의 xx좌표는 부호가 같아야 하고, 조건 (나)에서 삼각형 APQAPQ 또는 삼각형 BPQBPQ는 정삼각형이다. 따라서 OY⃗=2×OP⃗+OQ⃗2=2OM⃗\displaystyle \mathrm{\vec{OY}} = 2 \times \frac{{\vec{OP}} + {\vec{OQ}}}{2} = 2 {\vec{OM}} 이라 하면 점 MM의 자취는 다음과 같다.

따라서 점 MM은 반지름의 길이가 3\displaystyle \sqrt{3}이고 중심각의 크기가 76π\displaystyle \frac{7}{6} \pi인 2개의 부채꼴 위의 점이고, OY⃗=2OM⃗\mathrm{\vec{OY}} = 2 {\vec{OM}} 이므로 점 YY의 집합이 나타내는 도형의 길이는 3×76π×2×2=1433π\displaystyle \sqrt{3} \times \frac{7}{6} \pi \times 2 \times 2 = \frac{14}{3} \sqrt{3} \pi 따라서 p+q=3+14=17p + q = 3 + 14 = 17 이다.

태그

#벡터의 연산#자취

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