기하평면벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

벡터 차의 최솟값

문제

좌표평면에서 세 벡터 a⃗=(3,0){\vec{a}} = \left( 3 , 0 \right), b⃗=(1,2){\vec{b}} = \left( 1 , 2 \right), c⃗=(4,2){\vec{c}} = \left( 4 , 2 \right) 에 대하여 두 벡터 p⃗{\vec{p}}, q⃗{\vec{q}}가 p⃗∙a⃗{\vec{p}} \bullet {\vec{a}}=a⃗∙b⃗= {\vec{a}} \bullet {\vec{b}}, ∣q⃗−c⃗∣=1| {\vec{q}} - {\vec{c}} | = 1 을 만족시킬 때, ∣p⃗−q⃗∣| {\vec{p}} - {\vec{q}} |의 최솟값은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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②

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해설

[출제의도] 성분으로 나타낸 벡터의 연산을 이용하여 최솟값을 구할 수 있는가? p⃗∙a⃗=a⃗∙b⃗{\vec{p}} \bullet {\vec{a}} = {\vec{a}} \bullet {\vec{b}}에서 a⃗∙p⃗=a⃗∙b⃗{\vec{a}} \bullet {\vec{p}} = {\vec{a}} \bullet {\vec{b}} a⃗∙(p⃗−b⃗)=0{\vec{a}} \bullet \left( {\vec{p}} - {\vec{b}} \right) = 0 이때, a⃗=(3,0){\vec{a}} = \left( 3 , 0 \right), b⃗=(1,2){\vec{b}} = \left( 1 , 2 \right)이므로 점 P(x,y)\mathrm{P} \left( \mathit{x} , y \right)에 대하여 p⃗=OP⃗=(x,y){\vec{p}} = {\vec{\mathrm{OP}}} = \mathit{\left( x , y \right)}라 하면 (3,0)∙(x−1,y−2)=0\left( 3 , 0 \right) \bullet \left( x - 1 , y - 2 \right) = 0 3(x−1)=03 \left( x - 1 \right) = 0 x=1x = 1 그러므로 점 P\mathrm{P}는 직선 x=1x = 1위의 점이다. 또, ∣q⃗−c⃗∣=1\left| {\vec{q}} - {\vec{c}} \right| = 1이고 c⃗=(4,2){\vec{c}} = \left( 4 , 2 \right)이므로 q⃗=OQ⃗{\vec{q}} = {\vec{\mathrm{OQ}}}라 하면 점 Q\mathrm{Q}는 중심이 (4,2)\left( 4 , 2 \right)이고 반지름의 길이가 11인 원 위의 점이다.

한편, ∣p⃗−q⃗∣\left| {\vec{p}} - {\vec{q}} \right|=∣OP⃗−OQ⃗∣= \left| {\vec{\mathrm{OP}}} - {\vec{\mathrm{OQ}}} \right|=∣QP⃗∣= \left| {\vec{\mathrm{QP}}} \right|=PQ‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{PQ}}} 따라서 이 값의 최솟값은 원의 중심 (4,2)\left( 4 , 2 \right)와 직선 x=1x = 1 사이의 거리에서 반지름의 길이 11을 빼면 되므로 3−1=23 - 1 = 2

태그

#내적#벡터의 크기

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