미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반원과 선분 길이 극한

문제

그림과 같이 길이가 22인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 반원 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 ∠PAB=θ\mathrm{\angle} PAB = \theta라 하자. 선분 OB\mathrm{OB} 위의 점 C\mathrm{C}가 ∠APO=∠OPC\mathrm{\angle} APO = \angle OPC를 만족시킬 때, lim⁡θ→+0OC‾\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\mathrm{\overline{OC}}}의 값은? (단, 0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}이고, 점 O\mathrm{O}는 선분 AB\mathrm{AB}의 중점이다.) [3점]

①112\displaystyle \frac{1}{12}②16\displaystyle \frac{1}{6}③14\displaystyle \frac{1}{4}④13\displaystyle \frac{1}{3}⑤512\displaystyle \frac{5}{12}

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④

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해설

[출제의도] 삼각함수의 극한값을 구하는 문제를 해결한다.

PP에서 ABAB에 내린 수선의 발을 HH라 하면 OH=cos⁡2θOH = \cos 2 \theta, PH=sin⁡2θPH = \sin 2 \theta tan⁡(∠PCH)=tan⁡3θ=PHCH\displaystyle \tan ( \angle PCH ) = \tan 3 \theta = \frac{PH}{CH} ∴CH=sin⁡2θtan⁡3θ\displaystyle \therefore CH = \frac{\sin 2 \theta}{\tan 3 \theta} OC=OH−CH=cos⁡2θ−sin⁡2θtan⁡3θ\displaystyle OC = OH - CH = \cos 2 \theta - \frac{\sin 2 \theta}{\tan 3 \theta} lim⁡θ→0+OC‾\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\mathrm{\overline{OC}}}=lim⁡θ→0+(cos⁡2θ−sin⁡2θtan⁡3θ)\displaystyle \mathrm{=} \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \left( \cos 2 \theta - \frac{\sin 2 \theta}{\tan 3 \theta} \right)=1−23=13\displaystyle = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

태그

#삼각함수의 극한#도형

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