반원과 삼각형 넓이 미분

$\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = t$라 하면 삼각형 ${\mathrm{ABP}}$의 넓이 $f \left( \theta \right)$는 $\displaystyle f \left( \theta \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} t \sin \theta$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 선분 ${\mathrm{BC}}$의 중점을 ${\mathrm{M}}$이라 하면 점 ${\mathrm{M}}$은 반원의 중심이고, 직각삼각형 ${\mathrm{ABM}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \sqrt{3}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BM}}} = 1$이므로 $\displaystyle \angle {\mathrm{BAM}} \frac{= \mathit{\pi}}{6}$ $\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{6}$일 때, $\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{6} - \theta \right) = \cos \left( \theta - \frac{\pi}{6} \right)$이므로 삼각형 ${\mathrm{APM}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle 1 ^{2} = 2 ^{2} + t ^{2} - 2 \times 2 \times t \times \cos \left( \frac{\pi}{6} - \theta \right)$ $\displaystyle t ^{2} - 4 t \cos \left( \frac{\pi}{6} - \theta \right) + 3 = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$일 때, $\displaystyle t = {\overline{\mathrm{AM}}} + {\overline{\mathrm{MP}}} = 2 + 1 = 3$이므로 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$일 때도 ㉡이 성립한다. ㉡의 양변을 $\theta$에 대하여 미분하면 $\displaystyle 2 t \frac{dt}{d \theta} - 4 \frac{dt}{d \theta} \cos \left( \frac{\pi}{6} - \theta \right) - 4 t \sin \left( \frac{\pi}{6} - \theta \right) = 0$ $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$를 대입하면 $\displaystyle \frac{dt}{d \theta} = 0$ ㉠의 양변을 $\theta$에 대하여 미분하면 $\displaystyle f' \left( \theta \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{dt}{d \theta} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} t \cos \theta$이므로 $\displaystyle f' \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 0 \times \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{4}$ 따라서 $\displaystyle 20 f' \left( \frac{\pi}{6} \right) = 20 \times \frac{9}{4} = 45$