반원과 삼각형 넓이

$\angle {\mathrm{ACB}} = \theta$라 하면 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos \theta = \cos \left( \angle {\mathrm{ACB}} \right) = \frac{5 ^{2} + 5 ^{2} - \left( 2 \sqrt{5} \right) ^{2}}{2 \times 5 \times 5} = \frac{3}{5}$ 이다. $\displaystyle \angle {\mathrm{BDC}} = \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = 5 \times \cos \theta = 5 \times \frac{3}{5} = 3$, $\displaystyle \angle {\mathrm{DBC}} = \frac{\pi}{2} - \theta$이고 원에 내접하는 사각형의 성질에 의하여 $\displaystyle \angle {\mathrm{DEC}} = \frac{\pi}{2} + \theta$이다. 삼각형 ${\mathrm{DCE}}$의 넓이가 $\displaystyle \frac{3}{5}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{DE}}} \times {\overline{\mathrm{CE}}} \times \sin \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = \frac{3}{5}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{DE}}} \times k \times \cos \theta = \frac{3}{5}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}} = \frac{2}{k}$ 이다. 삼각형 ${\mathrm{DCE}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle 9 = k ^{2} + \frac{4}{k ^{2}} - 2 \times k \times \frac{2}{k} \times \cos \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right)$ $\displaystyle 9 = k ^{2} + \frac{4}{k ^{2}} + 2 \times k \times \frac{2}{k} \times \sin \theta$이고 $\displaystyle \sin \theta = \sqrt{1 - \cos ^{2} \theta} = \frac{4}{5}$이므로 $\displaystyle \frac{20}{k ^{2}} + 5 k ^{2} - 29 = 0$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} < {\overline{\mathrm{DE}}}$이므로 $\displaystyle k < \frac{2}{k}$이고 $k ^{2} < 2$이다. $k ^{2} = X \left( X < 2 \right)$라 하면 $\displaystyle \frac{20}{X} + 5 X - 29 = 0$ $5 X ^{2} - 29 X + 20 = 0$ $\left( 5 X - 4 \right) \left( X - 5 \right) = 0$ $\displaystyle X = \frac{4}{5}$이다. 따라서 $\displaystyle k ^{2} = \frac{4}{5}$이므로 $\displaystyle 60 k ^{2} = 60 \times \frac{4}{5} = 48$이다.