반원과 내심 벡터

[출제의도] 평면 도형에서 벡터의 연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$는 원의 지름이고, $\angle \mathrm{APB} = 90 ^\circ$이므로 내적은 $0$이다. (참) ㄴ. $\triangle \mathrm{ABC}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AN}}$은 $\mathrm{\angle} CAB$의 이등분선이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BA}} : \overline{AC} = \overline{BN} : \overline{NC} = 3 : 1$이다. 따라서, $\displaystyle \mathrm{\vec{AN}} = \frac{1}{4} \mathrm{\vec{AB}} + \frac{3}{4} \vec{AC}$이다. (참) ㄷ. $\mathrm{\vec{AB}} = \vec{\mathit{b}} , \mathrm{\vec{AC}} = \vec{\mathit{c}}$라 하자. $\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{\vec{AN}} \bullet \vec{BQ} = 0 & \leftrightarrow \vec{AN} \bullet \left( \vec{AQ} - \vec{AB} \right) = 0 \\ \\ & \leftrightarrow \vec{\mathrm{AN}} \bullet \left( \mathit{t} \mathrm{\vec{AM}} - \vec{AB} \right) = 0 \\ \\ & \leftrightarrow \left( \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{c} \right) \bullet \left\{ t \left( \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} \right) - \vec{b} \right\} = 0 \\ \\ & \leftrightarrow \left( 2 t - 3 \right) \left( \vec{b} \bullet \vec{c} + 3 \right) = 0 \end{aligned}$ $\vec{b} \bullet \vec{c} > 0$이므로, $\displaystyle t = \frac{3}{2}$이다. 따라서, $\displaystyle \vec{\mathrm{AQ}} = \frac{3}{2} \vec{\mathrm{AM}} \leftrightarrow 2 \vec{\mathrm{AQ}} = 3 \vec{\mathrm{AM}}$이다. (참)