미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반원과 정사각형 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$ 인 정사각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$ 의 내부에 변 $\mathrm{A} _{1} B _{1} , C _{1} D _{1}$ 을 지름으로 하는 두 반원을 그리고, 이 두 반원의 넓이의 합을 $S _{1}$ 이라 하자. 이 두 반원과 변 $\mathrm{B} _{1} C _{1}$ 으로 둘러싸인 부분에 내접하는 정사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$ 의 내부에 변 $\mathrm{A} _{2} B _{2} , C _{2} D _{2}$ 를 지름으로 하는 두 반원을 그리고, 이 두 반원의 넓이의 합을 $S _{2}$ 라 하자. 이 두 반원과 변 $\mathrm{B} _{2} C _{2}$ 로 둘러싸인 부분에 내접하는 정사각형 $\mathrm{A} _{3} B _{3} C _{3} D _{3}$ 의 내부에 변 $\mathrm{A} _{3} B _{3} , C _{3} D _{3}$ 를 지름으로 하는 두 반원을 그리고, 이 두 반원의 넓이의 합을 $S _{3}$ 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 두 반원의 넓이의 합을 $S _{n}$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}$ 의 값은? [4점]

① $\displaystyle \frac{16}{15} \pi$ ② $\displaystyle \frac{25}{24} \pi$ ③ $\displaystyle \frac{36}{35} \pi$ ④ $\displaystyle \frac{45}{44} \pi$ ⑤ $\displaystyle \frac{49}{48} \pi$

정답 보기

②

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 무한등비급수의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 그림에서

${\mathrm{A}} _{n}$ ${\mathrm{B}} _{n}$ ${\mathrm{C}} _{n}$ ${\mathrm{A}} _{n+1}$ ${\mathrm{B}} _{n+1}$ ${\mathrm{C}} _{n+1}$ ${{\mathrm{D}} _{n+1}}$ $r _{n} - 2 r _{n+1}$ $r _{n} - r _{n+1}$ $r _{n+1}$ ${\mathrm{D}} _{n}$

$r _{n} ^{2} = ( r _{n} - r _{n+1} ) ^{2} + ( r _{n} - 2 r _{n+1} ) ^{2}$ 이므로 $5 r _{n+1} ^{2} - 6 r _{n} r _{n+1} + r _{n} ^{2} = 0$ $( 5 r _{n+1} - r _{n} ) ( r _{n+1} - r _{n} ) = 0$ ∴ $\displaystyle r _{n+1} = \frac{1}{5} r _{n}$ ∴ $\displaystyle S _{n + 1} = 2 \times \frac{1}{2} \times \pi r _{n + 1} ^{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{25} \times \pi r _{n} ^{2} = \frac{1}{25} S _{n}$ 수열 $\left\{ S _{n} \right\}$ 은 $\displaystyle S _{1} = 2 \times \frac{1}{2} \times \pi \times 1 ^{2} = \pi$ 이고, 공비가 $\displaystyle \frac{1}{25}$ 인 등비수열이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{\pi}{1 - \frac{1}{25}} = \frac{25}{24} \pi$

← 전체 문제 목록으로

반원과 정사각형 급수

문제

자료 내려받기

해설

태그

비슷한 문제 더 보기