반원과 곱셈공식

선분 ${\mathrm{AB}}$의 중점을 ${\mathrm{O}}$, 선분 ${\mathrm{AD}}$와 선분 ${\mathrm{OC}}$가 만나는 점을 ${\mathrm{M}}$이라 하자. $\triangle {\mathrm{AOC}} \mathit{\equiv} \triangle {\mathrm{DOC}}$이므로 $\angle {\mathrm{ACO}} \mathit{=} \angle {\mathrm{DCO}}$이다. $\displaystyle \overline{{\mathrm{CM}}}$이 $\angle {\mathrm{ACD}}$의 이등분선이고 $\triangle {\mathrm{ACD}}$가 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AC}}} = \overline{{\mathrm{CD}}}$인 이등변삼각형이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AM}}} = \overline{{\mathrm{DM}}}$, $\angle {\mathrm{AMC}} \mathit{=} 90 ^\circ$이다.

$\angle {\mathrm{ADB}} \mathit{=} 90 ^\circ$이고 $\triangle \mathrm{AMO}$$\backsim$$\triangle \mathrm{ADB}$, $\displaystyle \overline{{\mathrm{BD}}} = 8$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{OM}}} = 4$이다. 직각삼각형 ${\mathrm{AMC}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AM}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{CM}}} ^{2}$, 직각삼각형 $\mathrm{AMO}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AM}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AO}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{OM}}} ^{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{CM}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AO}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{OM}}} ^{2}$이다. 그러므로 $\left( a - 1 \right) ^{2} - \left( a - 4 \right) ^{2} = a ^{2} - 4 ^{2}$, $a ^{2} - 6 a - 1 = 0$에서 $a > 4$이므로 $\displaystyle a = 3 + \sqrt{10}$이다. $a ^{2} - 6 a - 1 = 0$의 양변을 $a$로 나누면 $\displaystyle a - \frac{1}{a} = 6$이다. 따라서 $\displaystyle a ^{3} - \frac{1}{a ^{3}} = \left( a - \frac{1}{a} \right) ^{3} + 3 \left( a - \frac{1}{a} \right) = 6 ^{3} + 3 \times 6 = 234$ 이다.