미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반원에 내접하는 정사각형 급수

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 aa인 반원 C1C _{1}에 내접하는 정사각형을 A1A _{1}이라 하자. A1A _{1}의 한 변의 길이를 반지름으로 하는 반원 C2C _{2}에 내접하는 정사각형을 A2A _{2}라 하자. A2A _{2}의 한 변의 길이를 반지름으로 하는 반원 C3C _{3}에 내접하는 정사각형을 A3A _{3}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 정사각형을 만들어 나갈 때, 이들 정사각형의 넓이의 합은? [4점]

①a2a ^{2}②2a22 a ^{2}③3a23 a ^{2}④4a24 a ^{2}⑤5a25 a ^{2}

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 무한등비급수의 합을 구하기 A1A _{1}의 한 변의 길이를 xx라고 하면 피타고라스 정리에 의해 x=25a\displaystyle x = \frac{2}{\sqrt{5}} a이므로 A1A _{1}의 넓이=45a2\displaystyle = \frac{4}{5} a ^{2}이다. 마찬가지 방법으로 A2A _{2}의 넓이=1625a2\displaystyle = \frac{16}{25} a ^{2} ⋮\vdots AnA _{n}의 넓이=(45)na2\displaystyle = \left( \frac{4}{5} \right) ^{n} a ^{2} 따라서, 넓이의 합은 45a21−45\displaystyle \frac{\frac{4}{5} a ^{2}}{1 - \frac{4}{5}}=4a2= 4 a ^{2} 이다

태그

#무한등비급수#도형

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로