반원 위 세 점으로 만든 x²

선분 ${\mathrm{AB}}$의 중점을 ${\mathrm{O}}$라 하면 반원의 반지름의 길이는 $\displaystyle \frac{6}{2} = 3$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = {\overline{\mathrm{OP}}} = {\overline{\mathrm{OQ}}} = {\overline{\mathrm{OR}}} = {\overline{\mathrm{OB}}} = 3$ 주어진 조건 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = {\overline{\mathrm{PQ}}} = 1$과 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}} = {\overline{\mathrm{RB}}} = x$에 의하여, 삼각형 ${\mathrm{AOP}}$와 삼각형 ${\mathrm{POQ}}$는 세 변의 길이가 각각 $3$, $3$, $1$로 같고, 삼각형 ${\mathrm{QOR}}$과 삼각형 ${\mathrm{ROB}}$는 세 변의 길이가 각각 $3$, $3$, $x$로 같으므로 $\triangle {\mathrm{AOP}} \equiv \triangle {\mathrm{POQ}}$ (${\mathrm{SSS}}$합동) $\triangle {\mathrm{QOR}} \equiv \triangle {\mathrm{ROB}}$ (${\mathrm{SSS}}$합동) 이때 $\angle {\mathrm{AOP}} = \theta _{1}$, $\angle {\mathrm{ROB}} = \theta _{2}$라 하면 $\angle {\mathrm{POQ}} = \angle {\mathrm{AOP}} = \theta _{1}$, $\angle {\mathrm{QOR}} = \angle {\mathrm{ROB}} = \theta _{2}$ 이고, 네 각의 합은 $\pi$이므로 $\angle {\mathrm{AOP}} + \angle {\mathrm{POQ}} + \angle {\mathrm{QOR}} + \angle {\mathrm{ROB}} = 2 \theta _{1} + 2 \theta _{2} = \pi$ 즉, $\displaystyle \theta _{1} + \theta _{2} = \frac{\pi}{2}$이고 $\displaystyle \theta _{2} = \frac{\pi}{2} - \theta _{1}$ 한편, 삼각형 ${\mathrm{AOP}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos \theta _{1} = \frac{{\overline{\mathrm{OA}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{OP}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{AP}}} ^{2}}{2 \times {\overline{\mathrm{OA}}} \times {\overline{\mathrm{OP}}}} = \frac{3 ^{2} + 3 ^{2} - 1 ^{2}}{2 \times 3 \times 3} = \frac{17}{18}$ $0 < \theta _{1} < \pi$에서 $\sin \theta _{1} > 0$이므로 $\displaystyle \sin \theta _{1} = \sqrt{1 - \cos ^{2} \theta _{1}} = \sqrt{1 - \left( \frac{17}{18} \right) ^{2}} = \frac{\sqrt{35}}{18}$ 또 삼각형 ${\mathrm{ROB}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{RB}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{OR}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{OB}}} ^{2} - 2 \times {\overline{\mathrm{OR}}} \times {\overline{\mathrm{OB}}} \times \cos \theta _{2}$ 이므로 $x ^{2} = 3 ^{2} + 3 ^{2} - 2 \times 3 \times 3 \times \cos \theta _{2} = 18 - 18 \cos \theta _{2}$ 이때 $\displaystyle \cos \theta _{2} = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta _{1} \right) = \sin \theta _{1}$이므로 $x ^{2}$$\displaystyle = 18 - 18 \sin \theta _{1} = 18 - 18 \times \frac{\sqrt{35}}{18}$ $\displaystyle = 18 - \sqrt{35}$ [다른 풀이]

선분 ${\mathrm{AB}}$의 중점을 ${\mathrm{O}}$라 하면 반원의 반지름의 길이는 $\displaystyle \frac{6}{2} = 3$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} = {\overline{\mathrm{OR}}} = 3$ $\angle \mathrm{AOP} = \angle POQ$, $\angle \mathrm{BOR} = \angle QOR$이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{POR} = \frac{\pi}{2}$ 직각삼각형 $\mathrm{OPR}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} = 3 \sqrt{2}$ 중심각과 원주각의 성질에 의하여 $\displaystyle \angle \mathrm{OBR} = \frac{\pi}{4}$ 원에 내접하는 사각형의 성질에 의하여 $\displaystyle \angle \mathrm{PQR} = \pi - \angle PBR = \frac{3}{4} \pi$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = 1$, $\displaystyle \mathrm{\overline{QR}} = \mathit{x}$, $\displaystyle \mathrm{PR} = 3 \sqrt{2}$이므로 삼각형 $\mathrm{PQR}$에서 코사인법칙에 의해 $\displaystyle \left( 3 \sqrt{2} \right) ^{2} = x ^{2} + 1 ^{2} - 2 \times 1 \times x \times \cos \frac{3}{4} \pi$ $\displaystyle x ^{2} + \sqrt{2} x - 17 = 0$ $\displaystyle x = \frac{- \sqrt{2} \pm \sqrt{70}}{2}$ $x > 0$이므로 $\displaystyle x = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{70}}{2}$ $\therefore$ $x ^{2}$$\displaystyle = - \sqrt{2} x + 17$ $\displaystyle = - \sqrt{2} \times \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{70}}{2} + 17$ $\displaystyle = 18 - \sqrt{35}$