미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반원 위 정삼각형 넓이 극한

문제

그림과 같이 중심각의 크기가 π\pi이고 반지름의 길이가 11인 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}에서 호 AB\mathrm{AB}를 nn등분한 각 점(양 끝점도 포함)을 차례로 A=P0\mathrm{A} = \mathrm{P} _{\mathit{0}}, P1\mathrm{P} _{1}, P2\mathrm{P} _{2}, P3\mathrm{P} _{3}, ⋯\mathrm{\cdots}, Pn−1\mathrm{P} _{\mathit{n} - 1}, Pn=B\mathrm{P} _{\mathit{n}} = B 라 하자. P0P1‾\displaystyle \mathrm{\overline{P _{\mathit{0}} \mathrm{P} _{\mathit{1}}}}, P1P2‾\displaystyle \mathrm{\overline{P _{\mathit{1}} \mathrm{P} _{\mathit{2}}}}, P2P3‾\displaystyle \mathrm{\overline{P _{\mathit{2}} \mathrm{P} _{\mathit{3}}}}, ⋯\mathrm{\cdots}, Pn−1Pn‾\displaystyle \mathrm{\overline{P _{\mathit{n} - 1} \mathrm{P} _{\mathit{n}}}}을 각각 밑변으로 하는 정삼각형 nn개의 넓이의 합을 S(n)S ( n )이라 할 때, lim⁡n→∞n⋅S(n)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {n \cdot S ( n )}의 값은? [3점]

①28π2\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{8} \pi ^{2}②68π2\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{8} \pi ^{2}③34π2\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} \pi ^{2}④54π2\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4} \pi ^{2}⑤74π2\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4} \pi ^{2}

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③

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해설

[출제의도] 함수의 극한 이해하기 P0P1‾=P1P2‾=⋯=Pn−1Pn‾=2sin⁡π2n\displaystyle \mathrm{\overline{P _{\mathit{0}} \mathrm{P} _{1}}} = \overline{P _{\mathit{1}} \mathrm{P} _{2}} = \cdots = \overline{P _{\mathit{n} - 1} \mathrm{P} _{\mathit{n}}} = 2 \sin \frac{\pi}{2 n} 이므로 각 정삼각형의 넓이는 3sin⁡2(π2n)\displaystyle \sqrt{3} \sin ^{2} \left( \frac{\pi}{2 n} \right)이다. 따라서 lim⁡n→∞n⋅S(n)=lim⁡n→∞3n2×sin⁡2(π2n)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {n \cdot S ( n )} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sqrt{3} n ^{2} \times \sin ^{2} \left( \frac{\pi}{2 n} \right)} =34π2\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \pi ^{2}

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#삼각함수의 극한#도형

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