반원 속 사인법칙

삼각형 $\mathrm{CDE}$에서 코사인 법칙에 따라 $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} ^{2} = 4 ^{2} + ( 3 \sqrt{2} ) ^{2} - 2 \times 4 \times 3 \sqrt{2} \times \cos ( \angle CED )$ $\displaystyle = 16 + 18 - 24 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10$, $\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{CD}} = \sqrt{10}$ 원의 반지름을 $r$이라 할 때,

삼각형 $\mathrm{OED}$에서 코사인 법칙에 따라 $\displaystyle r ^{2} = ( r - 4 ) ^{2} + ( 3 \sqrt{2} ) ^{2} - 2 \times 3 \sqrt{2} \times ( r - 4 ) \times \cos \frac{3}{4} \pi$ $r ^{2} = r ^{2} - 8 r + 16 + 18 + 6 ( r - 4 )$, $10 - 2 r = 0 , r = 5$ 삼각형 $\mathrm{ACD}$에서 $\mathrm{\angle} CAD = \theta$라 할 때, 사인법칙에 따라 $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{CD}}}{\sin \theta} = 2 r , \frac{\sqrt{10}}{\sin \theta} = 10$, $\displaystyle \sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$ 삼각형 $\mathrm{AEC}$에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{AC}}}{\sin \frac{3}{4} \pi} = \frac{4}{\sin \theta}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{10}}{10}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{40}{2 \sqrt{5}} = 4 \sqrt{5}$ $\displaystyle \mathrm{\therefore} \overline{AC} \times \overline{CD} = 4 \sqrt{5} \times \sqrt{10} = 20 \sqrt{2}$