미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반원 속 사각형 넓이 미분

문제

그림과 같이 길이가 22인 선분 AB{\mathrm{AB}}를 지름으로 하는 반원의 호 AB{\mathrm{AB}} 위의 점 P{\mathrm{P}}에 대하여 ∠BAP=θ(π4<θ<π2)\displaystyle \angle {\mathrm{BAP}} = \mathit{\theta} \left( \frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)라 하고, 점 P{\mathrm{P}}를 지나고 선분 AB{\mathrm{AB}}에 평행한 직선이 호 AB{\mathrm{AB}}와 만나는 점 중 P{\mathrm{P}}가 아닌 점을 Q{\mathrm{Q}}라 하자. 사각형 ABQP{\mathrm{ABQP}}의 넓이를 f(θ)f \left( \theta \right)라 하고 AP‾:BP‾=1:3\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} : {\overline{\mathrm{BP}}} = 1 : 3이 되도록 하는 θ\theta의 값을 aa라 할 때, f′(a)f' \left( a \right)의 값은? [3점]

①−6425\displaystyle - \frac{64}{25}②−5925\displaystyle - \frac{59}{25}③−5425\displaystyle - \frac{54}{25}④−4925\displaystyle - \frac{49}{25}⑤−4425\displaystyle - \frac{44}{25}

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③

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해설

다음 그림과 같이 점 P\mathrm{P}에서 선분 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 할 때 직각삼각형 PAB\mathrm{PAB}에서 AP‾=2cos⁡θ\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = 2 \cos \theta 이므로 직각삼각형 PAH\mathrm{PAH}에서 PH‾=2cos⁡θsin⁡θ\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} = 2 \cos \theta \sin \theta, AH‾=2cos⁡2θ\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = 2 \cos ^{2} \theta

이때 사각형 ABQP\mathrm{ABQP}는 등변사다리꼴이므로 PQ‾=AB‾−2×AH‾=2−2×2cos⁡2θ=2−4cos⁡2θ\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = {\overline{\mathrm{AB}}} - 2 \times {\overline{\mathrm{AH}}} = 2 - 2 \times 2 \cos ^{2} \theta = 2 - 4 \cos ^{2} \theta 즉 사각형 ABQP\mathrm{ABQP}의 넓이는 f(θ)f \left( \theta \right)=12×(AB‾+PQ‾)×PH‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( {\overline{\mathrm{AB}}} + {\overline{\mathrm{PQ}}} \right) \times {\overline{\mathrm{PH}}} =12×(2+2−4cos⁡2θ)×2cos⁡θsin⁡θ\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 2 + 2 - 4 \cos ^{2} \theta \right) \times 2 \cos \theta \sin \theta =4(1−cos⁡2θ)cos⁡θsin⁡θ= 4 \left( 1 - \cos ^{2} \theta \right) \cos \theta \sin \theta =4sin⁡3θcos⁡θ= 4 \sin ^{3} \theta \cos \theta 이므로 f′(θ)f' \left( \theta \right)=12sin⁡2θcos⁡2θ−4sin⁡4θ= 12 \sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta - 4 \sin ^{4} \theta 한편 AP‾:BP‾=1:3\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} : {\overline{BP}} = 1 : 3일 때 θ=a\theta = a이고, ∠APB=π2\displaystyle \angle \mathrm{APB} = \frac{\pi}{2}이므로 AP‾:BP‾:AB‾=1:3:10\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} : {\overline{BP}} : {\overline{AB}} = 1 : 3 : \sqrt{10} ∴\therefore sin⁡a=310\displaystyle \sin a = \frac{3}{\sqrt{10}}, cos⁡a=110\displaystyle \cos a = \frac{1}{\sqrt{10}} ∴\therefore f′(a)f' \left( a \right)=12sin⁡2acos⁡2a−4sin⁡4a= 12 \sin ^{2} a \cos ^{2} a - 4 \sin ^{4} a =12×910×110−4×81100\displaystyle = 12 \times \frac{9}{10} \times \frac{1}{10} - 4 \times \frac{81}{100} =−5425\displaystyle = - \frac{54}{25}

태그

#삼각함수의 미분#도형

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