미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반원 속 사각형 극한

문제

그림과 같이 길이가 22인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 반원 위를 움직이는 점 C\mathrm{C}가 있다. 호 BC\mathrm{BC}의 길이를 이등분하는 점을 M\mathrm{M}이라 하고, 두 점 C,M\mathrm{C} , M에서 선분 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 각각 D,N\mathrm{D} , N이라 하자. ∠CAB=θ\mathrm{\angle} CAB = \theta라 할 때, 사각형 CDNM\mathrm{CDNM}의 넓이를 S(θ)S ( \theta )라 하자. lim⁡θ→0+S(θ)θ3=a\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{S ( \theta )}{\theta ^{3}} = a일 때, 16a16 a의 값을 구하여라. (단, 점 C\mathrm{C}는 선분 AB\mathrm{AB}의 양 끝점이 아니다.) [4점]

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해설

반원의 중심을 O\mathrm{O}라 하면 ∠COD=2θ\angle \mathrm{COD} = 2 \theta, ∠MON=θ\mathrm{\angle} MON = \theta이고 반지름의 길이가 11이므로 CD‾=sin⁡2θ\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = \sin 2 \theta, MN‾=sin⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{MN}} = \sin \theta DN‾\displaystyle \mathrm{\overline{DN}}=ON‾−OD‾\displaystyle = \mathrm{\overline{ON}} - \overline{OD}=cos⁡θ−cos⁡2θ= \cos \theta - \cos 2 \theta ∴ S(θ)S ( \theta )=12(CD‾+MN‾)DN‾\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \left( \overline{CD} + \overline{MN} \right) \overline{DN} =12(sin⁡2θ+sin⁡θ)(cos⁡θ−cos⁡2θ)\displaystyle = \frac{1}{2} ( \sin 2 \theta + \sin \theta ) ( \cos \theta - \cos 2 \theta ) =(sin⁡2θ+sin⁡θ)(cos⁡2θ−cos⁡22θ)2(cos⁡θ+cos⁡2θ)\displaystyle = \frac{( \sin 2 \theta + \sin \theta ) ( \cos ^{2} \theta - \cos ^{2} 2 \theta )}{2 ( \cos \theta + \cos 2 \theta )} =(sin⁡2θ+sin⁡θ)(sin⁡22θ−sin⁡2θ)2(cos⁡θ+cos⁡2θ)\displaystyle = \frac{( \sin 2 \theta + \sin \theta ) ( \sin ^{2} 2 \theta - \sin ^{2} \theta )}{2 ( \cos \theta + \cos 2 \theta )} ∴ lim⁡θ→+0S(θ)θ3\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow +0} \frac{S ( \theta )}{\theta ^{3}} =lim⁡θ→+0(sin⁡2θ2θ⋅2+sin⁡θθ)\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow +0} \left( \frac{\sin 2 \theta}{2 \theta} \cdot 2 + \frac{\sin \theta}{\theta} \right){(sin⁡2θ2θ)2⋅4−(sin⁡θθ)2}\displaystyle \left\{ \left( \frac{\sin 2 \theta}{2 \theta} \right) ^{2} \cdot 4 - \left( \frac{\sin \theta}{\theta} \right) ^{2} \right\}⋅12(cos⁡θ+cos⁡2θ)\displaystyle \cdot \frac{1}{2 ( \cos \theta + \cos 2 \theta )} =(1⋅2+1)(12⋅4−12)⋅12(1+1)\displaystyle = ( 1 \cdot 2 + 1 ) ( 1 ^{2} \cdot 4 - 1 ^{2} ) \cdot \frac{1}{2 ( 1 + 1 )}=94\displaystyle = \frac{9}{4} ∴ a=94\displaystyle a = \frac{9}{4} ∴ 16a=3616 a = 36

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#삼각함수의 극한#도형

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