반원 속 사각형 보기

[출제의도] 코사인법칙을 활용하여 추론하기 ㄱ. $\displaystyle \angle \mathrm{BCA} = \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \cos \left( \angle \mathrm{CBA} \right) = \frac{{\overline{BC}}}{{\overline{AB}}} = \frac{3}{7}$ $\displaystyle \sin \left( \angle \mathrm{CBA} \right) = \sqrt{1 - \left( \frac{3}{7} \right) ^{2}} = \frac{2 \sqrt{10}}{7}$ (참) ㄴ. $\angle \mathrm{CBA} = \theta$$\displaystyle \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$라 하면 $\angle \mathrm{ADC} = \pi - \theta$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = {\overline{AB}} \times \mathrm{\sin} \theta = 14 \times \frac{2 \sqrt{10}}{7} = 4 \sqrt{10}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = \mathit{k}$$\left( k > 0 \right)$이라 하면 삼각형 $\mathrm{ACD}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \left( 4 \sqrt{10} \right) ^{2}$$= k ^{2} + 7 ^{2} - 2 \times k \times 7 \times \mathrm{\cos} \left( \pi - \theta \right)$ $= k ^{2} + 49 + 14 k \cos \theta$ $= k ^{2} + 6 k + 49$ $k ^{2} + 6 k - 111 = 0$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = \mathit{-} 3 + \sqrt{9 + 111} = \mathit{-} 3 + 2 \sqrt{30}$ (참) ㄷ. 삼각형 $\mathrm{ACD}$의 넓이가 최대일 때 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이가 최대이므로 점 $\mathrm{D}$는 선분 $\mathrm{AC}$의 수직이등분선이 호 $\mathrm{AC}$와 만나는 점이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = {\overline{CD}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \mathit{x}$$\left( x > 0 \right)$이라 하면 삼각형 $\mathrm{ACD}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \left( 4 \sqrt{10} \right) ^{2}$$= x ^{2} + x ^{2} - 2 \times x \times x \times \mathrm{\cos} \left( \pi - \theta \right)$$\displaystyle = 2 x ^{2} + 2 x ^{2} \times \frac{3}{7} = \frac{20}{7} x ^{2}$ $x ^{2} = 56$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = 2 \sqrt{14}$ 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} \times {\overline{AD}} \times {\overline{CD}} \times \mathrm{\sin} \left( \pi - \theta \right)$$\displaystyle + \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AC}}} \times {\overline{\mathrm{BC}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 2 \sqrt{14} \right) ^{2} \times \frac{2 \sqrt{10}}{7}$$\displaystyle + \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{10} \times 6$$\displaystyle = 8 \sqrt{10} + 12 \sqrt{10} = 20 \sqrt{10}$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ