미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반원 삼각형 넓이 극한

문제

그림과 같이 중심이 O\mathrm{O}이고 길이가 22인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 AB\mathrm{AB} 위의 점 P\mathrm{P}에서 선분 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하고, 점 H\mathrm{H}를 지나고 선분 OP\mathrm{OP}에 수직인 직선이 선분 OP\mathrm{OP}, 호 AB\mathrm{AB}와 만나는 점을 각각 I\mathrm{I}, Q\mathrm{Q}라 하자. 점 Q\mathrm{Q}를 지나고 직선 OP\mathrm{OP}에 평행한 직선이 호 AB\mathrm{AB}와 만나는 점 중 Q\mathrm{Q}가 아닌 점을 R\mathrm{R}라 하자. ∠POB=θ\angle \mathrm{POB} = \theta일 때, 두 삼각형 RIP\mathrm{RIP}, IHP\mathrm{IHP}의 넓이를 각각 S(θ)S ( \theta ), T(θ)T ( \theta )라 하자. lim⁡θ→0+S(θ)−T(θ)θ3\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{S ( \theta ) - T ( \theta )}{\theta ^{3}}의 값은? (단, 0<θ<π2\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}) [4점]

①2−14\displaystyle \frac{\sqrt{2} - 1}{4}②2−12\displaystyle \frac{\sqrt{2} - 1}{2}③2−1\displaystyle \sqrt{2} - 1④22−14\displaystyle \frac{2 \sqrt{2} - 1}{4}⑤22−12\displaystyle \frac{2 \sqrt{2} - 1}{2}

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②

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해설

[출제의도] 도형의 성질과 삼각함수의 극한을 이용하여 문제를 해결한다.

∠OHP=π2\displaystyle \mathrm{\angle} OHP = \frac{\pi}{2}이므로 OH‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}}=OP‾cos⁡θ\displaystyle = {\overline{\mathrm{OP}}} \cos \theta=cos⁡θ= \cos \theta ∠HIO=π2\displaystyle \mathrm{\angle} HIO = \frac{\pi}{2}이므로 OI‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OI}}}=OH‾cos⁡θ\displaystyle = {\overline{\mathrm{OH}}} \cos \theta=cos⁡2θ= \cos ^{2} \theta IH‾\displaystyle {\overline{\mathrm{IH}}}=OH‾sin⁡θ\displaystyle = {\overline{\mathrm{OH}}} \sin \theta=cos⁡θsin⁡θ= \cos \theta \sin \theta IP‾\displaystyle {\overline{\mathrm{IP}}}=OP‾−OI‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{OP}}} - {\overline{\mathrm{OI}}}=1−cos⁡2θ= 1 - \cos ^{2} \theta=sin⁡2θ= \sin ^{2} \theta 삼각형 IHP\mathrm{IHP}의 넓이 T(θ)T ( \theta )는 T(θ)T ( \theta )=12×IH‾×IP‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{IH}}} \times {\overline{\mathrm{IP}}}=12×(cos⁡θsin⁡θ)×sin⁡2θ\displaystyle = \frac{1}{2} \times ( \cos \theta \sin \theta ) \times \sin ^{2} \theta=12sin⁡3θcos⁡θ\displaystyle = \frac{1}{2} \sin ^{3} \theta \cos \theta 직선 OP\mathrm{OP}와 직선 RQ\mathrm{RQ}가 평행이므로 삼각형 RIP\mathrm{RIP}의 높이는 QI‾\displaystyle \mathrm{\overline{QI}}이다. OQ‾=1\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}}} = 1, ∠OIQ=π2\displaystyle \angle \mathrm{OIQ} = \frac{\pi}{2}이므로 직각삼각형 OIQ\mathrm{OIQ}에서 QI‾2=OQ‾2−OI‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{QI}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{OQ}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{OI}}} ^{2} QI‾\displaystyle {\overline{\mathrm{QI}}}=1−(cos⁡2θ)2\displaystyle = \sqrt{1 - ( \cos ^{2} \theta ) ^{2}}=(1−cos⁡2θ)(1+cos⁡2θ)\displaystyle = \sqrt{( 1 - \cos ^{2} \theta ) ( 1 + \cos ^{2} \theta )} =sin⁡θ1+cos⁡2θ\displaystyle = \sin \theta \sqrt{1 + \cos ^{2} \theta} (0<θ<π2)\displaystyle \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right) 삼각형 RIP\mathrm{RIP}의 넓이 S(θ)S ( \theta )는 S(θ)S ( \theta )=12×IP‾×QI‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{IP}} \times {\overline{QI}} =12×sin⁡2θ×(sin⁡θ1+cos⁡2θ)\displaystyle = \frac{1}{2} \times \sin ^{2} \theta \times \left( \sin \theta \sqrt{1 + \cos ^{2} \theta} \right) =12sin⁡3θ1+cos⁡2θ\displaystyle = \frac{1}{2} \sin ^{3} \theta \sqrt{1 + \cos ^{2} \theta} S(θ)−T(θ)S ( \theta ) - T ( \theta )=12sin⁡3θ(1+cos⁡2θ−cos⁡θ)\displaystyle = \frac{1}{2} \sin ^{3} \theta \left( \sqrt{1 + \cos ^{2} \theta} - \cos \theta \right) 따라서 lim⁡θ→0+S(θ)−T(θ)θ3\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S ( \theta ) - T ( \theta )}{\theta ^{3}}} =lim⁡θ→0+12sin⁡3θ(1+cos⁡2θ−cos⁡θ)θ3\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{\frac{1}{2} \sin ^{3} \theta \left( \sqrt{1 + \cos ^{2} \theta} - \cos \theta \right)}{\theta ^{3}}} =lim⁡θ→0+{12×sin⁡3θθ3×(1+cos⁡2θ−cos⁡θ)}\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \left\{ \frac{1}{2} \times \frac{\sin ^{3} \theta}{\theta ^{3}} \times \left( \sqrt{1 + \cos ^{2} \theta} - \cos \theta \right) \right\} =2−12\displaystyle = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}

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#삼각함수 극한#도형

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