미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반원 사각형 넓이 극한

문제

그림과 같이 AB‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 3인 선분 AB{\mathrm{AB}}를 지름으로 하는 반원의 호 AB{\mathrm{AB}} 위에 서로 다른 세 점 C{\mathrm{C}}, D{\mathrm{D}}, E{\mathrm{E}}를 ∠BAC=∠CAD=∠DAE=θ\angle {\mathrm{BAC}} = \angle {\mathrm{CAD}} = \angle {\mathrm{DAE}} = \theta 가 되도록 잡는다. 두 선분 AC{\mathrm{AC}}, AD{\mathrm{AD}}가 선분 BE{\mathrm{BE}}와 만나는 점을 각각 P{\mathrm{P}}, Q{\mathrm{Q}}라 할 때, 사각형 CDQP{\mathrm{CDQP}}의 넓이를 S(θ)S \left( \theta \right)라 하자. lim⁡θ→0+S(θ)θ3\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{S \left( \theta \right)}{\theta ^{3}}의 값은? (\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.단, 0<θ<π6)\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{6} \begin{matrix} \\ \end{matrix} ) [4점]

①1212②1515③1818④2121⑤2424

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③

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해설

삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 ∠ACB=90∘\angle \mathrm{ACB} = 90 ^\circ이고 ∠BAC=θ\angle \mathrm{BAC} = \theta, AB‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 3이므로 AC‾=3cos⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = 3 \cos \theta 삼각형 ABD\mathrm{ABD}에서 ∠ADB=90∘\angle \mathrm{ADB} = 90 ^\circ이고 ∠BAD=2θ\angle \mathrm{BAD} = 2 \theta, AB‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 3이므로 AD‾=3cos⁡2θ\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 3 \cos 2 \theta 삼각형 ABE\mathrm{ABE}에서 ∠AEB=90∘\angle \mathrm{AEB} = 90 ^\circ이고 ∠BAE=3θ\angle \mathrm{BAE} = 3 \theta, AB‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 3이므로 AE‾=3cos⁡3θ\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = 3 \cos 3 \theta 삼각형 APE\mathrm{APE}에서 ∠PAE=2θ\angle \mathrm{PAE} = 2 \theta이므로 cos⁡2θ=AE‾AP‾\displaystyle \cos 2 \theta = \frac{\mathrm{\overline{AE}}}{\mathrm{\overline{AP}}}, AP‾=3cos⁡3θcos⁡2θ\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \frac{3 \cos 3 \theta}{\cos 2 \theta} 삼각형 AQE\mathrm{AQE}에서 ∠QAE=θ\angle \mathrm{QAE} = \theta이므로 cos⁡θ=AE‾AQ‾\displaystyle \cos \theta = \frac{\mathrm{\overline{AE}}}{\mathrm{\overline{AQ}}}, AQ‾=3cos⁡3θcos⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = \frac{3 \cos 3 \theta}{\cos \theta} 사각형 CDQP\mathrm{CDQP}의 넓이는 삼각형 ACD\mathrm{ACD}의 넓이에서 삼각형 APQ\mathrm{APQ}의 넓이를 뺀 것과 같으므로 S(θ)S \left( \theta \right)=12×3cos⁡θ×3cos⁡2θ×sin⁡θ\displaystyle = \frac{1}{2} \times 3 \cos \theta \times 3 \cos 2 \theta \times \sin \theta−12×3cos⁡3θcos⁡2θ×3cos⁡3θcos⁡θ×sin⁡θ\displaystyle - \frac{1}{2} \times \frac{3 \cos 3 \theta}{\cos 2 \theta} \times \frac{3 \cos 3 \theta}{\cos \theta} \times \sin \theta =9sin⁡θ2cos⁡θcos⁡2θ(cos⁡θcos⁡2θ−cos⁡3θ)\displaystyle = \frac{9 \sin \theta}{2 \cos \theta \cos 2 \theta} \left( \cos \theta \cos 2 \theta - \cos 3 \theta \right) ×(cos⁡θcos⁡2θ+cos⁡3θ)\times \left( \cos \theta \cos 2 \theta + \cos 3 \theta \right) 이때 삼각함수의 덧셈정리에 의하여 cos⁡3θ=cos⁡θcos⁡2θ−sin⁡θsin⁡2θ\cos 3 \theta = \cos \theta \cos 2 \theta - \sin \theta \sin 2 \theta이므로 S(θ)=9sin⁡2θsin⁡2θ(cos⁡θcos⁡2θ+cos⁡3θ)2cos⁡θcos⁡2θ\displaystyle S \left( \theta \right) = \frac{9 \sin ^{2} \theta \sin 2 \theta \left( \cos \theta \cos 2 \theta + \cos 3 \theta \right)}{2 \cos \theta \cos 2 \theta} lim⁡θ→0+S(θ)θ3\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S \left( \theta \right)}{\theta ^{3}}} =lim⁡θ→0+9×(sin⁡θθ)2×sin⁡2θ2θ×(cos⁡θcos⁡2θ+cos⁡3θ)cos⁡θcos⁡2θ\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{9 \times \left( \frac{\sin \theta}{\theta} \right) ^{2} \times \frac{\sin 2 \theta}{2 \theta} \times \left( \cos \theta \cos 2 \theta + \cos 3 \theta \right)}{\cos \theta \cos 2 \theta}} =9×1×1×(1+1)1×1\displaystyle = \frac{9 \times 1 \times 1 \times \left( 1 + 1 \right)}{1 \times 1} =18= 18

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#삼각함수 극한#도형

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