미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반원 넓이비 극한

문제

그림과 같이 길이가 22인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 AB\mathrm{AB}의 중점을 O\mathrm{O}라 하고 호 AB\mathrm{AB} 위에 두 점 P,Q\mathrm{P} , Q를 ∠BOP=θ,∠BOQ=2θ\mathrm{\angle} BOP = \theta , \angle BOQ = 2 \theta 가 되도록 잡는다. 점 Q\mathrm{Q}를 지나고 선분 AB\mathrm{AB}에 평행한 직선이 호 AB\mathrm{AB}와 만나는 점 중 Q\mathrm{Q}가 아닌 점을 R\mathrm{R}라 하고, 선분 BR\mathrm{BR}가 두 선분 OP,OQ\mathrm{OP} , OQ와 만나는 점을 각각 S,T\mathrm{S} , T라 하자. 세 선분 AO,OT,TR\mathrm{AO} , OT , TR와 호 RA\mathrm{RA}로 둘러싸인 부분의 넓이를 f(θ)f \left( \theta \right)라 하고, 세 선분 QT,TS,SP\mathrm{QT} , TS , SP와 호 PQ\mathrm{PQ}로 둘러싸인 부분의 넓이를 g(θ)g \left( \theta \right)라 하자. lim⁡θ→0+g(θ)f(θ)=a\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{g \left( \theta \right)}{f \left( \theta \right)}} = a일 때, 80a80 a의 값을 구하시오. (단, 0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}) [4점]

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20

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해설

[출제의도] 원의 성질을 이용하여 삼각함수의 극한에 대한 문제를 해결한다. ∠RBO\mathrm{\angle} RBO=∠BRQ= \mathrm{\angle} BRQ=12∠BOQ\displaystyle = \frac{1}{2} \mathrm{\angle} BOQ=θ= \theta이므로 ∠OST\mathrm{\angle} OST=2θ= 2 \theta, ∠OTS\mathrm{\angle} OTS=π−3θ= \pi - 3 \theta 삼각형 OBS\mathrm{OBS}에서 사인법칙에 의하여 OS‾sin⁡θ\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{OS}}}{\sin \theta}=1sin⁡(π−2θ)\displaystyle = \frac{1}{\sin ( \pi - 2 \theta )}, OS‾\displaystyle \mathrm{\overline{OS}}=sin⁡θsin⁡2θ\displaystyle = \frac{\sin \theta}{\sin 2 \theta} 삼각형 OBT\mathrm{OBT}에서 사인법칙에 의하여 OT‾sin⁡θ\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{OT}}}{\sin \theta}=1sin⁡(π−3θ)\displaystyle = \frac{1}{\sin ( \pi - 3 \theta )}, OT‾\displaystyle \mathrm{\overline{OT}}=sin⁡θsin⁡3θ\displaystyle = \frac{\sin \theta}{\sin 3 \theta} ∠ROA\mathrm{\angle} ROA=2×∠RBA= 2 \times \angle \mathrm{RBA}=2θ= 2 \theta, ∠TOR\angle \mathrm{T} {OR}=π−4θ= \pi - 4 \theta f(θ)f ( \theta )==(부채꼴 ORA\mathrm{ORA}의 넓이)++(삼각형 OTR\mathrm{OTR}의 넓이) =12×12×2θ+12×1×OT‾×sin⁡(π−4θ)\displaystyle = \frac{1}{2} \times 1 ^{2} \times 2 \theta + \frac{1}{2} \times 1 \times \mathrm{\overline{OT}} \times \sin ( \pi - 4 \theta )=θ+sin⁡θsin⁡4θ2sin⁡3θ\displaystyle = \theta + \frac{\sin \theta \sin 4 \theta}{2 \sin 3 \theta} lim⁡θ→0+f(θ)θ\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{f ( \theta )}{\theta}}=lim⁡θ→0+(1+4×sin⁡θθ×sin⁡4θ4θ6×sin⁡3θ3θ)\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\left( 1 + \frac{4 \times \frac{\sin \theta}{\theta} \times \frac{\sin 4 \theta}{4 \theta}}{6 \times \frac{\sin 3 \theta}{3 \theta}} \right)}=1+4×1×16×1\displaystyle = 1 + \frac{4 \times 1 \times 1}{6 \times 1}=53\displaystyle = \frac{5}{3} g(θ)g ( \theta )==(부채꼴 OPQ\mathrm{OPQ}의 넓이)−-(삼각형 OST\mathrm{OST}의 넓이) =12×12×θ+12×OS‾×OT‾×sin⁡θ\displaystyle = \frac{1}{2} \times 1 ^{2} \times \theta + \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{OS}} \times \mathrm{\overline{OT}} \times \sin \theta=θ2−sin⁡3θ2sin⁡2θ×sin⁡3θ\displaystyle = \frac{\theta}{2} - \frac{\sin ^{3} \theta}{2 \sin 2 \theta \times \sin 3 \theta} lim⁡θ→0+g(θ)θ\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{g ( \theta )}{\theta}}=lim⁡θ→0+(12−(sin⁡θθ)312×sin⁡2θ2θ×sin⁡3θ3θ)\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\left( \frac{1}{2} - \frac{\left( \frac{\sin \theta}{\theta} \right) ^{3}}{12 \times \frac{\sin 2 \theta}{2 \theta} \times \frac{\sin 3 \theta}{3 \theta}} \right)} =12−1312×1×1\displaystyle = \frac{1}{2} - \frac{1 ^{3}}{12 \times 1 \times 1}=512\displaystyle = \frac{5}{12} 따라서 aa=14\displaystyle = \frac{1}{4}이므로 80a80 a=80×14\displaystyle = 80 \times \frac{1}{4}=20= 20

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#삼각함수의 극한#도형

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