반원 넓이 극한

[출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제 해결하기

호 $\mathrm{PB}$와 호 $\mathrm{PQ}$의 길이가 서로 같으므로 원주각의 성질에 의하여 $\angle \mathrm{PAB} = \angle QBP = \theta$ $\displaystyle \angle \mathrm{ABS} = \angle APB = \frac{\pi}{2}$이고 $\displaystyle \angle \mathrm{PBA} = \frac{\pi}{2} - \theta$이므로 $\angle \mathrm{SBP} = \theta$ 두 삼각형 $\mathrm{SPB}$, $\mathrm{RPB}$는 서로 합동이므로 두 삼각형 $\mathrm{SPB}$, $\mathrm{RPB}$의 넓이가 서로 같다. 선분 $\mathrm{PQ}$와 호 $\mathrm{PQ}$로 둘러싸인 부분의 넓이와 선분 $\mathrm{PB}$와 호 $\mathrm{PB}$로 둘러싸인 부분의 넓이가 서로 같다. 그러므로 $f \left( \theta \right) + g \left( \theta \right)$는 삼각형 $\mathrm{QBP}$의 넓이와 같다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{PB}}} = {\overline{\mathrm{PQ}}} = 2 \sin \theta$ $f \left( \theta \right) + g \left( \theta \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{PB}}} \times {\overline{\mathrm{PQ}}} \times \sin \left( \pi - 2 \theta \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 2 \sin \theta \right) ^{2} \times \mathrm{\sin} 2 \theta$ $= 2 \sin ^{2} \theta \sin 2 \theta$ $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{\mathit{f \left( \theta \right) + g \left( \theta \right)}}{\theta ^{3}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{2 \sin ^{2} \theta \mathrm{\sin} 2 \theta}{\theta ^{3}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\left( 2 \times \frac{\sin ^{2} \theta}{\theta ^{2}} \times \frac{\sin 2 \theta}{\theta} \right)}$ $\displaystyle = 2 \times \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\left( \frac{\sin \theta}{\theta} \right) ^{2}} \times \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\left( \frac{\sin 2 \theta}{2 \theta} \times 2 \right)}$ $= 2 \times 1 ^{2} \times 2 = 4$