미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반원 넓이 차 극한

문제

그림과 같이 길이가 22인 선분 AB{\mathrm{AB}}를 지름으로 하는 반원의 호 AB{\mathrm{AB}} 위에 점 P{\mathrm{P}}가 있다. 중심이 A{\mathrm{A}}이고 반지름의 길이가 AP‾\displaystyle \overline{{\mathrm{AP}}}인 원과 선분 AB{\mathrm{AB}}의 교점을 Q{\mathrm{Q}}라 하자. 호 PB{\mathrm{PB}} 위에 점 R{\mathrm{R}}를 호 PR{\mathrm{PR}}와 호 RB{\mathrm{RB}}의 길이의 비가 3:73 : 7이 되도록 잡는다. 선분 AB{\mathrm{AB}}의 중점을 O{\mathrm{O}}라 할 때, 선분 OR{\mathrm{OR}}와 호 PQ{\mathrm{PQ}}의 교점을 T{\mathrm{T}}, 점 O{\mathrm{O}}에서 선분 AP{\mathrm{AP}}에 내린 수선의 발을 H{\mathrm{H}}라 하자. 세 선분 PH{\mathrm{PH}}, HO{\mathrm{HO}}, OT{\mathrm{OT}}와 호 TP{\mathrm{TP}}로 둘러싸인 부분의 넓이를 S1S _{1}, 두 선분 RT{\mathrm{RT}}, QB{\mathrm{QB}}와 두 호 TQ{\mathrm{TQ}}, BR{\mathrm{BR}}로 둘러싸인 부분의 넓이를 S2S _{2}라 하자. ∠PAB=θ\angle {\mathrm{PAB}} = \theta라 할 때, lim⁡θ→0+S1−S2OH‾=a\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{S _{1} - S _{2}}{\overline{{\mathrm{OH}}}} = a이다. 50a50 a의 값을 구하시오. (단, 0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}) [4점]

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40

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해설

[출제의도] 도형의 넓이를 삼각함수로 나타내고 극한값을 구할 수 있는가?

삼각형 ABP\mathrm{ABP}에서 ∠APB=π2\displaystyle \angle \mathrm{APB} = \frac{\pi}{2}이므로 AP‾=2cos⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = 2 \cos \theta 직각삼각형 AOH\mathrm{AOH}에서 AH‾=OA‾cos⁡θ=cos⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \overline{OA} \cos \theta = \cos \theta OH‾=sin⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} = \sin \theta 한편, 부채꼴 PAQ\mathrm{PAQ}의 넓이를 M1\mathrm{M} _{1}이라 하면 M1=12×AP‾2×θ\displaystyle \mathrm{M} _{1} = \frac{1}{2} \times {\overline{AP}} ^{2} \times \theta=12(2cos⁡θ)2×θ\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 2 \cos \theta \right) ^{2} \times \theta=2θcos⁡2θ= 2 \theta \cos ^{2} \theta 삼각형 AOH\mathrm{AOH}의 넓이를 M2\mathrm{M} _{2}라 하면 M2=12×AH‾×OH‾\displaystyle \mathrm{M} _{2} = \frac{1}{2} \times \overline{AH} \times \overline{OH}=12cos⁡θsin⁡θ\displaystyle = \frac{1}{2} \cos \theta \sin \theta 부채꼴 POB\mathrm{POB}에서 ∠POB=2∠PAB=2θ\mathrm{\angle} POB = 2 \angle PAB = 2 \theta이고 ⌢PR:⌢RB=3:7\mathrm{\frown} {PR} : \frown RB = 3 : 7이므로 ∠ROB=710×2θ=75θ\displaystyle \mathrm{\angle} ROB = \frac{7}{10} \times 2 \theta = \frac{7}{5} \theta 부채꼴 ROB\mathrm{ROB}의 넓이를 M3\mathrm{M} _{3}이라 하면 M3=12×OB‾2×75θ\displaystyle \mathrm{M} _{3} = \frac{1}{2} \times {\overline{OB}} ^{2} \times \frac{7}{5} \theta=12×12×75θ\displaystyle = \frac{1}{2} \times 1 ^{2} \times \frac{7}{5} \theta=710θ\displaystyle = \frac{7}{10} \theta 이때, S1−S2=M1−M2−M3\mathrm{S} _{1} - S _{2} = M _{1} - M _{2} - M _{3} =2θcos⁡2θ−12cos⁡θsin⁡θ−710θ\displaystyle = 2 \theta \cos ^{2} \theta - \frac{1}{2} \cos \theta \sin \theta - \frac{7}{10} \theta이므로 lim⁡θ→0+S1−S2OH‾\displaystyle \mathrm{\lim\limits} _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{S _{1} - S _{2}}{{\overline{OH}}}=lim⁡θ→0+2θcos⁡2θ−12cos⁡θsin⁡θ−710θsin⁡θ\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{2 \theta \cos ^{2} \theta - \frac{1}{2} \cos \theta \sin \theta - \frac{7}{10} \theta}{\sin \theta} =2lim⁡θ→0+θsin⁡θ×lim⁡θ→0+cos⁡2θ−12lim⁡θ→0+cos⁡θ−710lim⁡θ→0+θsin⁡θ\displaystyle = 2 \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{\theta}{\sin \theta} \times \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \cos ^{2} \theta - \frac{1}{2} \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \cos \theta - \frac{7}{10} \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{\theta}{\sin \theta} =2−12−710=45\displaystyle = 2 - \frac{1}{2} - \frac{7}{10} = \frac{4}{5} 따라서 a=45\displaystyle a = \frac{4}{5}이므로 50a=50×45=40\displaystyle 50 a = 50 \times \frac{4}{5} = 40

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#삼각함수의 극한#도형

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