미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반원 내접원 넓이 극한

문제

그림과 같이 길이가 22인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하고 중심이 O\mathrm{O}인 반원 위의 점 P\mathrm{P}에서 선분 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 Q\mathrm{Q}라 하자. ∠PAB=θ\angle {\mathrm{PAB}} = \theta라 할 때, 선분 AP\mathrm{AP}와 호 AP\mathrm{AP}에 동시에 접하는 가장 큰 원의 넓이를 S(θ)S \left( \theta \right), 삼각형 POQ\mathrm{POQ}의 내접원의 넓이를 T(θ)T \left( \theta \right)라 하자. lim⁡θ→0+θ2×T(θ)S(π2−θ)\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{\theta ^{2} \times T \left( \theta \right)}{S \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)}}의 값을 구하시오. (단, 0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}) [4점]

θ\theta

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16

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해설

[출제의도] 삼각함수 극한을 활용하여 문제해결하기

θ\theta

선분 AP\mathrm{AP}와 호 AP\mathrm{AP}에 동시에 접하는 가장 큰 원이 선분 AP\mathrm{AP}와 접하는 점을 C\mathrm{C}, 호 AP\mathrm{AP}와 접하는 점을 D\mathrm{D}라 하자. CO‾=sin⁡θ\displaystyle {\overline{\mathrm{CO}}} = \sin \theta, CD‾=1−CO‾=1−sin⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = 1 - {\overline{CO}} = 1 - \sin \theta이므로 선분 AP\mathrm{AP}와 호 AP\mathrm{AP}에 동시에 접하는 가장 큰 원의 반지름의 길이는 1−sin⁡θ2\displaystyle \frac{1 - \sin \theta}{2} ∴\thereforeS(θ)=π4(1−sin⁡θ)2\displaystyle S \left( \theta \right) = \frac{\pi}{4} \left( 1 - \sin \theta \right) ^{2} 삼각형 POQ\mathrm{POQ}의 내접원의 중심을 O′\mathrm{O}', 점 O′\mathrm{O}'에서 선분 OQ\mathrm{OQ}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 ∠POQ=2θ\angle \mathrm{POQ} = 2 \theta, ∠O′OH=θ\angle \mathrm{O}' OH = \theta 삼각형 POQ\mathrm{POQ}의 내접원의 반지름의 길이를 rr라 하면 OH‾=rtan⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} = \frac{r}{\tan \theta}, HQ‾=r\displaystyle \mathrm{\overline{HQ}} = \mathit{r} OQ‾=OH‾+HQ‾=rtan⁡θ+r=cos⁡2θ\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = {\overline{\mathrm{OH}}} + {\overline{\mathrm{HQ}}} = \frac{r}{\tan \theta} + r = \cos 2 \theta r=cos⁡2θtan⁡θ1+tan⁡θ\displaystyle r = \frac{\cos 2 \theta \tan \theta}{1 + \tan \theta} ∴\thereforeT(θ)=π(cos⁡2θtan⁡θ1+tan⁡θ)2\displaystyle T \left( \theta \right) = \pi \left( \frac{\cos 2 \theta \tan \theta}{1 + \tan \theta} \right) ^{2} S(π2−θ)=π4{1−sin⁡(π2−θ)}2=π4(1−cos⁡θ)2\displaystyle S \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{\pi}{4} \left\{ 1 - \sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) \right\} ^{2} = \frac{\pi}{4} \left( 1 - \cos \theta \right) ^{2} lim⁡θ→0+θ2×T(θ)S(π2−θ)=lim⁡θ→0+θ2×πcos⁡22θtan⁡2θ(1+tan⁡θ)2π4(1−cos⁡θ)2\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{\theta ^{2} \times T \left( \theta \right)}{S \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{\theta ^{2} \times \frac{\pi \cos ^{2} 2 \theta \tan ^{2} \theta}{\left( 1 + \tan \theta \right) ^{2}}}{\frac{\pi}{4} \left( 1 - \cos \theta \right) ^{2}}} =lim⁡θ→0+4θ2cos⁡22θtan⁡2θ(1+tan⁡θ)2(1−cos⁡θ)2\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{4 \theta ^{2} \cos ^{2} 2 \theta \tan ^{2} \theta}{\left( 1 + \tan \theta \right) ^{2} \left( 1 - \cos \theta \right) ^{2}}} =lim⁡θ→0+4θ2cos⁡22θtan⁡2θ(1+cos⁡θ)2(1+tan⁡θ)2sin⁡4θ\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{4 \theta ^{2} \cos ^{2} 2 \theta \tan ^{2} \theta \left( 1 + \cos \theta \right) ^{2}}{\left( 1 + \tan \theta \right) ^{2} \sin ^{4} \theta}} =lim⁡θ→0+{4cos⁡22θ(1+cos⁡θ)2(1+tan⁡θ)2×θ4sin⁡4θ×tan⁡2θθ2}\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\left\{ \frac{4 \cos ^{2} 2 \theta \left( 1 + \cos \theta \right) ^{2}}{\left( 1 + \tan \theta \right) ^{2}} \times \frac{\theta ^{4}}{\sin ^{4} \theta} \times \frac{\tan ^{2} \theta}{\theta ^{2}} \right\}} =16= 16

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#삼각함수의 극한#도형

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