반원 내접원 극한

[출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 그림과 같이 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{O}$, 선분 $\mathrm{PB}$와 호 $\mathrm{PB}$에 접하는 원의 반지름의 길이를 $r _{1}$, 삼각형 $\mathrm{ABQ}$에 내접하는 원의 중심을 $\mathrm{C}$, 반지름의 길이를 $r _{2}$라 하자.

$\angle {\mathrm{MOB}} = \theta$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}} = 1$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OM}} = \cos \theta$ $\therefore$ $\displaystyle r _{1} = \frac{1 - \cos \theta}{2}$, $\displaystyle S \left( \theta \right) = \pi \left( \frac{1 - \cos \theta}{2} \right) ^{2}$ 삼각형 $\mathrm{C} AO$는 $\angle \mathrm{AOC} \mathit{=} 90 ^\circ$인 직각삼각형이고 $\displaystyle \angle {\mathrm{C} AO} = \frac{\theta}{2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = 1$ $\therefore$ $\displaystyle r _{2} = \tan \frac{\theta}{2}$, $\displaystyle T \left( \theta \right) = \pi \tan ^{2} \frac{\theta}{2}$ $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{\theta ^{2} \times T \left( \theta \right)}{S \left( \theta \right) ^{}}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{\theta ^{2} \times \pi \tan ^{2} \frac{\theta}{2}}{\pi \left( \frac{1 - \cos \theta}{2} \right) ^{2}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{4 \theta ^{2} \times \tan ^{2} \frac{\theta}{2}}{\left( 1 - \cos \theta \right) ^{2}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \left\{ 4 \times \frac{\theta ^{4}}{\sin ^{4} \theta} \times \frac{1}{4} \times \frac{\tan ^{2} \frac{\theta}{2}}{\left( \frac{\theta}{2} \right) ^{2}} \times \left( 1 + \cos \theta \right) ^{2} \right\}$ $\displaystyle = 4 \times \frac{1}{4} \times 4 = 4$