미적분Ⅱ급수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

반원 정사각형 무한급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 44인 정사각형 RR의 한 변을 지름으로 하는 두 개의 반원을 접하게 그리고 정사각형 RR의 각 변의 중점을 연결한 정사각형 R1R _{1}을 붙여서 만든 모양에 색칠하여 얻은 그림을 T1T _{1}이라 하자. 그림 T1T _{1}에서 정사각형 R1R _{1}의 한 변을 지름으로 하는 두 개의 반원을 접하게 그리고 정사각형 R1R _{1}의 각 변의 중점을 연결한 정사각형 R2R _{2}를 붙여서 만든 모양에 색칠하여 얻은 그림을 T2T _{2}라 하자. 그림 T2T _{2}에서 정사각형 R2R _{2}의 한 변을 지름으로 하는 두 개의 반원을 접하게 그리고 정사각형 R2R _{2}의 각 변의 중점을 연결한 정사각형 R3R _{3}을 붙여서 만든 모양에 색칠하여 얻은 그림을 T3T _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림을 TnT _{n}이라 하고 그림 TnT _{n}에 색칠되어 있는 모든 모양의 넓이의 합을 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn=p+qπ\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n} = p + q \pi이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, p,qp , q는 유리수이다.) [4점]

⋯\cdots
T1T _{1}T2T _{2}T3T _{3}⋯\cdots
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12

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해설

[출제의도] 도형의 규칙성을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

π4\displaystyle \frac{\pi}{4}

S1=4(12⋅2⋅2−12⋅22⋅π4)=8−2π\displaystyle S _{1} = 4 \left( \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 2 ^{2} \cdot \frac{\pi}{4} \right) = 8 - 2 \pi 정사각형 모양 의 닮은 그림들을 크기순으로 나열할 때 인접하는 두 그림의 닮음비는 4:22=2:2\displaystyle 4 : 2 \sqrt{2} = 2 : \sqrt{2}이고 넓이의 비는 2:12 : 1이다. S2=S1+(8−2π)⋅12=(8−2π)+(8−2π)⋅12\displaystyle S _{2} = S _{1} + \left( 8 - 2 \pi \right) \cdot \frac{1}{2} = \left( 8 - 2 \pi \right) + \left( 8 - 2 \pi \right) \cdot \frac{1}{2} S3=S2+(8−2π)⋅(12)2=(8−2π)+(8−2π)⋅12+(8−2π)⋅(12)2\displaystyle \begin{aligned} S _{3} & = S _{2} + \left( 8 - 2 \pi \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \\ & = \left( 8 - 2 \pi \right) + \left( 8 - 2 \pi \right) \cdot \frac{1}{2} + \left( 8 - 2 \pi \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \end{aligned} Sn=(8−2π)+(8−2π)⋅12+⋯+(8−2π)⋅(12)n−1\displaystyle S _{n} = \left( 8 - 2 \pi \right) + \left( 8 - 2 \pi \right) \cdot \frac{1}{2} + \cdots + \left( 8 - 2 \pi \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} lim⁡n→∞Sn=∑n=1∞(8−2π)⋅(12)n−1=8−2π1−12=16−4π\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( 8 - 2 \pi \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} = \frac{8 - 2 \pi}{1 - \frac{1}{2}} = 16 - 4 \pi ∴p+q=16−4=12\therefore p + q = 16 - 4 = 12

태그

#무한등비급수#도형

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