반원 정사각형 급수

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$인 정사각형 ${\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}}$이 있다. $4$개의 선분 ${\mathrm{A} _{1} B _{1}}$, ${\mathrm{B} _{1} C _{1}}$, ${\mathrm{C} _{1} D _{1}}$, ${\mathrm{D} _{1} A _{1}}$을 $1 : 3 \text{로}$ 내분하는 점을 각각 ${\mathrm{E} _{1}}$, ${\mathrm{F} _{1}}$, ${\mathrm{G} _{1}}$, ${\mathrm{H} _{1}}$이라 하고, 정사각형 ${\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}}$의 내부에 점 ${\mathrm{E} _{1}}$, ${\mathrm{F} _{1}}$, ${\mathrm{G} _{1}}$, ${\mathrm{H} _{1}}$ 각각을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{4} \overline{{\mathrm{A} _{1} B _{1}}}$인 $4$개의 반원을 그린 후 이 $4$개의 반원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{1}$이라 하자. 그림 $R _{1}$에서 점 ${\mathrm{A} _{1}}$을 지나고 중심이 ${\mathrm{H} _{1}}$인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선과 점 ${\mathrm{B} _{1}}$을 지나고 중심이 ${\mathrm{E} _{1}}$인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선의 교점을 ${\mathrm{A} _{2}}$, 점 ${\mathrm{B} _{1}}$을 지나고 중심이 ${\mathrm{E} _{1}}$인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선과 점 ${\mathrm{C} _{1}}$을 지나고 중심이 ${\mathrm{F} _{1}}$인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선의 교점을 ${\mathrm{B} _{2}}$, 점 ${\mathrm{C} _{1}}$을 지나고 중심이 ${\mathrm{F} _{1}}$인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선과 점 ${\mathrm{D} _{1}}$을 지나고 중심이 ${\mathrm{G} _{1}}$인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선의 교점을 ${\mathrm{C} _{2}}$, 점 ${\mathrm{D} _{1}}$을 지나고 중심이 ${\mathrm{G} _{1}}$인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선과 점 ${\mathrm{A} _{1}}$을 지나고 중심이 ${\mathrm{H} _{1}}$인 색칠된 반원의 호에 접하는 직선의 교점을 ${\mathrm{D} _{2}}$라 하자. 정사각형 ${\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}}$의 내부에 그림 $R _{1}$을 얻은 것과 같은 방법으로 $4$개의 반원을 그리고 이 $4$개의 반원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{2}$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R _{n}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle \frac{9 \sqrt{2} \pi}{4}$②$\displaystyle \frac{19 \sqrt{2} \pi}{8}$③$\displaystyle \frac{5 \sqrt{2} \pi}{2}$④$\displaystyle \frac{21 \sqrt{2} \pi}{8}$⑤$\displaystyle \frac{11 \sqrt{2} \pi}{4}$