미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반원 정사각형 급수

문제

그림과 같이 길이가 44인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 반원이 있다. 이 반원의 호 AB\mathrm{AB}를 이등분하는 점을 M\mathrm{M}이라 하고 선분 OM\mathrm{OM}을 3:13 : 1로 외분하는 점을 C\mathrm{C}라 하자. 선분 OC\mathrm{OC}를 대각선으로 하는 정사각형 CDOE\mathrm{CDOE}를 그리고, 정사각형의 내부와 반원의 외부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에 두 선분 CD\mathrm{CD}, CE\mathrm{CE}를 각각 지름으로 하는 두 반원을 정사각형 CDOE\mathrm{CDOE}의 외부에 그리고, 각각의 두 반원에서 그림 R1R _{1}을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 두 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

①36−8π5\displaystyle \frac{36 - 8 \pi}{5}②58−12π7\displaystyle \frac{58 - 12 \pi}{7}③72−16π7\displaystyle \frac{72 - 16 \pi}{7}④83−18π8\displaystyle \frac{83 - 18 \pi}{8}⑤91−20π8\displaystyle \frac{91 - 20 \pi}{8}

정답 보기
③

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

OC‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{OC}} = 3이므로 OE‾=32\displaystyle \mathrm{\overline{OE}} = \frac{3}{\sqrt{2}}, 즉 정사각형 OEDC 의 넓이는 92\displaystyle \frac{9}{2}이고, 사분원의 넓이는 π\pi이므로, S1=92−π\displaystyle S _{1} = \frac{9}{2} - \pi이다. 그리고 두번째 축소된 모양은 지름의 길이가 4에서 32\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}인 반원이므로 줄어든 닮음비는 342\displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{2}}, 넓이의 비는 닮음비의 제곱이고, 2개 생긴다. 따라서 공비는 2×(342)2=916\displaystyle 2 \times \left( \frac{3}{4 \sqrt{2}} \right) ^{2} = \frac{9}{16}. lim⁡n→∞Sn=92−π1−916\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n} = \frac{\frac{9}{2} - \pi}{1 - \frac{9}{16}}=72−16π7\displaystyle = \frac{72 - 16 \pi}{7}

태그

#등비급수#도형

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로