미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반원 호 길이 급수

문제

그림과 같이 길이가 44인 선분 A1B\mathrm{A} _{1} B를 지름으로 하는 반원 D1\mathrm{D} _{1}이 있다. 호 A1B\mathrm{A} _{1} B를 이등분하는 점을 C1\mathrm{C} _{1}, 점 B\mathrm{B}를 지나면서 선분 A1C1\mathrm{A} _{1} C _{1}과 접하고 중심이 선분 A1B\mathrm{A} _{1} B 위에 있는 반원을 D2\mathrm{D} _{2}, 반원 D2\mathrm{D} _{2}가 선분 A1B\mathrm{A} _{1} B와 만나는 점을 A2\mathrm{A} _{2}라 하자. 호 A2B\mathrm{A} _{2} B를 이등분하는 점을 C2\mathrm{C} _{2}, 점 B\mathrm{B}를 지나면서 선분 A2C2\mathrm{A} _{2} C _{2}와 접하고 중심이 선분 A1B\mathrm{A} _{1} B 위에 있는 반원을 D3\mathrm{D} _{3}, 반원 D3\mathrm{D} _{3}이 선분 A1B\mathrm{A} _{1} B와 만나는 점을 A3\mathrm{A} _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 반원 Dn\mathrm{D} _{\mathit{n}}의 호의 길이를 lnl _{\mathit{n}}이라 할 때, ∑n=1∞ln\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} l _{\mathit{n}}의 값은? [4점]

①2(1+2)π\displaystyle 2 ( 1 + \sqrt{2} ) \pi②2(2+2)π\displaystyle 2 ( 2 + \sqrt{2} ) \pi③2(3+2)π\displaystyle 2 ( 3 + \sqrt{2} ) \pi④2(2+22)π\displaystyle 2 ( 2 + 2 \sqrt{2} ) \pi⑤2(3+22)π\displaystyle 2 ( 3 + 2 \sqrt{2} ) \pi

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⑤

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해설

그림과 같이 반원 Dn\mathrm{D _{\mathit{n}}}, Dn+1\mathrm{D _{\mathit{n} + 1}}의 반지름을 각각 rnr _{n}, rn+1r _{n+1}라 하면, An\mathrm{A} _{\mathit{n}} Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}} 2rn−rn+12 r _{n} - r _{n + 1} rn+1r _{n + 1}

rn+1:(2rn−rn+1)=1:2\displaystyle r _{n+1} : ( 2 r _{n} - r _{n+1} ) = 1 : \sqrt{2}, rn+1=22+1rn\displaystyle r _{n+1} = \frac{2}{\sqrt{2} + 1} r _{n} 따라서, l1=2πl _{1} = 2 \pi, ln+1=22+1ln\displaystyle l _{n+1} = \frac{2}{\sqrt{2} + 1} l _{n}이므로 ∑n=1∞ln=2π1−22+1=2(3+22)π\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} l _{n} = \frac{2 \pi}{1 - \frac{2}{\sqrt{2} + 1}} = 2 ( 3 + 2 \sqrt{2} ) \pi

태그

#무한등비급수#도형

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