미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반원 호 길이 급수

문제

그림과 같이 xx축 위의 점 A1(6π−12,0)\mathrm{A} _{1} ( 6 \pi - 12 , 0 )에 대하여 OA1‾\displaystyle \mathrm{\overline{OA _{1}}}을 지름으로 하는 반원을 제 11사분면에 그리고, OA1‾=⌢OA2\displaystyle \mathrm{\overline{OA _{1}}} = \frown {OA _{2}} 인 점 A2\mathrm{A} _{2}를 yy축 위에 잡아 OA2‾\displaystyle \mathrm{\overline{OA _{2}}}를 지름으로 하는 반원을 제 22사분면에 그린다. 또, OA2‾=⌢OA3\displaystyle \mathrm{\overline{OA _{2}}} = \frown {OA _{3}} 인 점 A3\mathrm{A} _{3}를 xx축 위에 잡아OA3‾\displaystyle \mathrm{\overline{OA _{3}}}를 지름으로 하는 반원을 제 33사분면에 그리고, OA3‾=⌢OA4\displaystyle \mathrm{\overline{OA _{3}}} = \frown {OA _{4}} 인 점 A4\mathrm{A} _{4}를 yy축 위에 잡아 OA4‾\displaystyle \mathrm{\overline{OA _{4}}}를 지름으로 하는 반원을 제 44사분면에 그린다. 같은 방법으로 제 11사분면, 제 22사분면, ⋯\cdots에 반원을 계속하여 그려나갈 때, 반원들의 호의 길이의 합 ∑n=1∞⌢OAn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \mathrm{\frown} {OA _{n}}의 값은? (단, ⌢OAn은OAn‾\displaystyle \mathrm{\frown} {OA _{n}} \text{은} \overline{OA _{n}}을 지름으로 하는 반원의 호이고 nn=1, 2, 3, …이다.) [4점]

①9π9 \pi②8π+18 \pi + 1③π2+10\pi ^{2} + 10④2π2+32 \pi ^{2} + 3⑤3π23 \pi ^{2}

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⑤

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해설

OA‾n=an\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} \mathit{_{n}} \mathit{=} a _{n} 이라 하면 an=π⋅an+12\displaystyle a _{n} = \pi \cdot \frac{a _{n + 1}}{2} 에서 an+1=2πan\displaystyle a _{n + 1} = \frac{2}{\pi} a _{n}이므로 an=a1⋅(2π)n−1=(6π−12)(2π)n−1\displaystyle a _{n} = a _{1} \cdot \left( \frac{2}{\pi} \right) ^{n - 1} = ( 6 \pi - 12 ) \left( \frac{2}{\pi} \right) ^{n - 1} ∴⌢OAn=π⋅an2=π2(6π−12)(2π)n−1\displaystyle \therefore \frown {\mathrm{OA} \mathit{_{n}}} = \pi \cdot \frac{a _{n}}{2} = \frac{\pi}{2} ( 6 \pi - 12 ) \left( \frac{2}{\pi} \right) ^{n - 1} 따라서 구하는 값은 첫째항이 π2(6π−12)\displaystyle \frac{\pi}{2} ( 6 \pi - 12 ), 공비가 2π\displaystyle \frac{2}{\pi}인 무한등비급수이므로 ∑n=1∞⌢OAn=π2⋅6π−121−2π=3π2\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frown {\mathrm{OA} \mathit{_{n}}} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{6 \pi - 12}{1 - \frac{2}{\pi}} = 3 \pi ^{2}

태그

#무한등비급수#도형

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