반원 각의 탄젠트

[출제의도] 이해능력-삼각함수 그림과 같이 점 $D$에서 선분 $BC$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자.

선분 $AB$가 지름이므로 $\displaystyle \angle BCA = \frac{\pi}{2}$ $\displaystyle {\overline{BH}} = x$라 하면 $\displaystyle {\overline{AC}} = 2 {\overline{BC}}$이므로 $\displaystyle {\overline{DH}} = 2 x$ 삼각형 $BHD$와 삼각형 $BCA$는 닮음비가 $2 : 3$이므로 $\displaystyle {\overline{HC}} = \frac{1}{2} x$ $\displaystyle \tan ( \angle HCD ) = \frac{2 x}{\frac{1}{2} x} = 4$ 직선 $CE$는 $\angle BCA$의 이등분선이므로 $\displaystyle \angle BCE = \frac{\pi}{4}$ $\displaystyle \tan ( \angle ECD ) = \tan ( \angle HCD - \frac{\pi}{4} )$ $\displaystyle = \frac{\tan ( \angle HCD ) - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \tan ( \angle HCD ) \tan \frac{\pi}{4}}$ $\displaystyle = \frac{4 - 1}{1 + 4 \times 1} = \frac{3}{5}$