미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반원 도형의 극한

문제

그림과 같이 길이가 22인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 반원과 선분 AB\mathrm{AB}의 중점 O\mathrm{O}가 있다. 호 AB\mathrm{AB} 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 점 P\mathrm{P}를 지나고 직선 AB\mathrm{AB}와 평행한 직선과 점 B\mathrm{B}를 지나고 직선 OP\mathrm{OP}와 평행한 직선이 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. BP‾=t\displaystyle {\overline{\mathrm{BP}}} = t라 할 때, lim⁡t→0+3−AQ‾t2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{3 - {\overline{\mathrm{AQ}}}}{t ^{2}}}의 값은? (단, 0<t<2\displaystyle 0 < t < \sqrt{2}) [4점]

①16\displaystyle \frac{1}{6}②13\displaystyle \frac{1}{3}③12\displaystyle \frac{1}{2}④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤56\displaystyle \frac{5}{6}

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②

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해설

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

그림과 같이 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}에서 직선 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 각각 H1\mathrm{H} _{1}, H2\mathrm{H} _{2}라 하자. 직각삼각형 APB\mathrm{APB}에서 AP‾=4−t2\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = \sqrt{4 - t ^{2}}이고 직각삼각형 OH1P\mathrm{OH} _{1} P에서 OH1‾2+PH1‾2=1\displaystyle {\overline{\mathrm{OH} _{1}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{PH} _{1}}} ^{2} = 1이므로 직각삼각형 AH1P\mathrm{AH} _{1} P에서 AP‾2=(1+OH1‾)2+PH1‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} ^{2} = \left( 1 + {\overline{\mathrm{OH} _{1}}} \right) ^{2} + {\overline{\mathrm{PH} _{1}}} ^{2}, 4−t24 - t ^{2}=2+2OH1‾\displaystyle = 2 + 2 {\overline{\mathrm{OH} _{1}}} 따라서 OH1‾=1−t22\displaystyle {\overline{\mathrm{OH} _{1}}} = 1 - \frac{t ^{2}}{2} PH1‾=1−OH1‾2=t24−t2\displaystyle {\overline{\mathrm{PH} _{1}}} = \sqrt{1 - {\overline{\mathrm{OH} _{1}}} ^{2}} = \frac{t}{2} \sqrt{4 - t ^{2}} BH2‾=OH1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BH} _{2}}} = {\overline{\mathrm{OH} _{1}}}, QH2‾=PH1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{QH} _{2}}} = {\overline{\mathrm{PH} _{1}}}이므로 직각삼각형 AH2Q\mathrm{AH} _{2} Q에서 AQ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}}=(2+BH2‾)2+QH2‾2\displaystyle = \sqrt{\left( 2 + {\overline{\mathrm{BH} _{2}}} \right) ^{2} + {\overline{\mathrm{QH} _{2}}} ^{2}} =(2+OH1‾)2+PH1‾2\displaystyle = \sqrt{\left( 2 + {\overline{\mathrm{OH} _{1}}} \right) ^{2} + {\overline{\mathrm{PH} _{1}}} ^{2}} ={2+(1−t22)}2+t24(4−t2)\displaystyle = \sqrt{\left\{ 2 + \left( 1 - \frac{t ^{2}}{2} \right) \right\} ^{2} + \frac{t ^{2}}{4} \left( 4 - t ^{2} \right)} =9−2t2\displaystyle = \sqrt{9 - 2 t ^{2}} 따라서 lim⁡t→0+3−AQ‾t2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{3 - {\overline{\mathrm{AQ}}}}{t ^{2}}}=lim⁡t→0+3−9−2t2t2\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{3 - \sqrt{9 - 2 t ^{2}}}{t ^{2}}} =lim⁡t→0+9−(9−2t2)t2(3+9−2t2)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{9 - \left( 9 - 2 t ^{2} \right)}{t ^{2} \left( 3 + \sqrt{9 - 2 t ^{2}} \right)}} =lim⁡t→0+23+9−2t2\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{2}{3 + \sqrt{9 - 2 t ^{2}}}} =13\displaystyle = \frac{1}{3}

태그

#극한#도형

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