반원 도형 넓이 차

[출제의도] 곱셈 공식을 이용하여 도형 문제 해결하기

$\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = \mathit{x} , \mathrm{\overline{QB}} = \mathit{y}$라 하자. $\displaystyle S _{1} = \frac{\pi}{2} \left( \frac{x + y}{2} \right) ^{2} - \frac{\pi}{2} \left( \frac{x}{2} \right) ^{2} - \frac{\pi}{2} \left( \frac{y}{2} \right) ^{2} = \frac{\pi}{4} xy$ 이다.

$\triangle \mathrm{AQP} \backsim \triangle PQB$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} : \overline{PQ} = \overline{PQ} : \overline{BQ}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} ^{2} = \overline{AQ} \times \overline{BQ} = \mathit{xy}$ 이다. 그러므로 $\displaystyle S _{2} = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\mathrm{\overline{PQ}}}{2} \right) ^{2} = \frac{\mathit{\pi}}{8} xy$이다. $\displaystyle S _{1} - S _{2} = \frac{\pi}{8} xy = 2 \pi$에서 $xy = 16$ 이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} - \overline{QB} = 8 \sqrt{3}$에서 $\displaystyle x - y = 8 \sqrt{3}$ 이므로 $\displaystyle \begin{aligned} \left( \mathrm{\overline{AB}} \right) ^{2} & = ( {\overline{AQ}} + {\overline{QB}} ) ^{2} \\ & = \mathit{\left( x + y \right)} ^{2} \\ & = \left( x - y \right) ^{2} + 4 xy \\ & = 192 + 64 = 256 \end{aligned}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 16$이다. [다른 풀이] $\angle \mathrm{APB} = 90 ^\circ$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} ^{2} + \mathrm{\overline{BP}} ^{2} = \mathit{(} x + y ) ^{2} \cdots \cdots \text{①}$ $\angle \mathrm{AQP} = 90 ^\circ$, $\angle \mathrm{PQB} = 90 ^\circ$이므로 $\mathrm{\overline{PQ}} ^{2} = \overline{AP} ^{2} - \mathit{x} ^{2} = \mathrm{\overline{BP}} ^{2} - \mathit{y} ^{2} \cdots \cdots \text{ ②}$ ①을 ②에 대입하면 $\displaystyle 2 \mathrm{\overline{BP}} ^{2} = \mathit{(} x + y ) ^{2} + y ^{2} - x ^{2} = 2 xy + 2 y ^{2}$ 이므로 $\mathrm{\overline{BP}} ^{2} = \mathit{xy} + y ^{2} \cdots \cdots \text{ ③}$ ③을 ②에 대입하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} ^{2} = \mathit{xy}$이다.