반원 도형 무한등비급수

그림과 같이 길이가 $6$인 선분 $AB$를 지름으로 하는 원을 그리고, 선분 $AB$의 $3$등분점을 각각 $P _{1} , P _{2}$라 하고 선분 $AP _{1}$을 지름으로 하는 원의 아래쪽 반원, 선분 $AP _{2}$를 지름으로 한는 원의 아래쪽 반원, 선분 $P _{2} B$를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원, 선분 $P _{1} B$를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원을 경계로 하여 만든 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{1}$이라 하자. 그림 $R _{1}$에서 선분 $AB$ 위의 색칠되지 않은 두 선분 $AP _{1}$, $P _{2} B$를 각각 지름으로 하는 두 원을 그리고, 이 두 원 안에 각각 그림 $R _{1}$을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 두 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{2}$라 하자. 그림 $R _{2}$에서 두 선분 $AP _{1} , P _{2} B$ 위의 색칠되지 않은 네 선분을 각각 지름으로 하는 네 원을 그리고, 이 네 원 안에 각각 그림 $R _{1}$을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 네 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{3}$이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R _{n}$에 색칠되어 있는 모든 모양의 도형의 넓이의 합을 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n}$의 값은? [3점]

①$\displaystyle \frac{25}{7} \pi$②$\displaystyle \frac{27}{7} \pi$③$\displaystyle \frac{29}{7} \pi$④$\displaystyle \frac{31}{7} \pi$⑤$\displaystyle \frac{33}{7} \pi$