반원 도형 급수

[출제의도] 등비급수를 이용하여 도형 문제 추론하기

$\mathrm{A} _{1}$ $30 ^\circ$ $60 ^\circ$ $30 ^\circ$ $60 ^\circ$

그림 $R _{1}$에서 두 선분 $\mathrm{A} _{1} C _{1}$과 $\mathrm{B} _{1} D _{1}$의 교점을 $\mathrm{E} ,$ 두 선분 $\mathrm{OC} _{1}$과 $\mathrm{B} _{1} D _{1}$의 교점을 $\mathrm{F}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{OB} _{1} F$와 삼각형 $\mathrm{C} _{1} EF$는 세 내각의 크기가 $30 ^{{}^\circ}$, $60 ^{{}^\circ}$, $90 ^{{}^\circ}$인 직각삼각형이므로 삼각비에 의해 $\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{1} F}} = \sqrt{3}$,$\displaystyle {\overline{\mathrm{OF}}} = {\overline{\mathrm{C} _{1} F}} = 1$,$\displaystyle {\overline{\mathrm{EF}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 이다. $S _{1}$은 부채꼴 $\mathrm{OB} _{1} C _{1}$의 넓이와 삼각형 $\mathrm{C} _{1} EF$의 넓이를 더한 값에서 삼각형 $\mathrm{OB} _{1} F$의 넓이를 뺀 값의 $2$배와 같으므로 $\displaystyle S _{1} = \left\{ \pi \times 2 ^{2} \times \frac{60 ^{{}^\circ}}{360 ^{{}^\circ}} + \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 \right\} \times 2$ $\displaystyle = \frac{4 \pi}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 이다. 그림 $R _{n}$에서 가장 작은 반원의 반지름의 길이를 $r _{n}$이라 하고, 그림 $R _{n}$을 얻는 과정에서 새로 얻은 모양의 넓이를 $a _{n}$이라 하자.

$\mathrm{A} _{\mathit{n}}$ $\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1}$ $\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1}$ $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$ $r _{n + 1}$ $60 ^\circ$ $30 ^\circ$

$r _{n+1} : r _{n} = 1 : 2$이므로 $a _{n + 1} : a _{n} = \left( r _{n + 1} \right) ^{2} : \left( r _{n} \right) ^{2}$ $a _{n + 1} : a _{n} = 1 ^{2} : 2 ^{2}$ $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{1}{4} a _{n}$ 이다. 따라서 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{4 \pi}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{1}{4}$인 등비수열이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = \frac{\frac{4 \pi}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{16 \pi - 8 \sqrt{3}}{9}$ 이다. 그러므로 $a + b = 16 - 8 = 8$이다.