반원 도형 급수

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 급수의 합을 추론한다. 선분 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}$의 중점을 $\mathrm{O}$, 선분 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}$이 두 선분 $\mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{A} _{\mathit{n} + 1}$, $\mathrm{C} _{\mathit{n}} E _{\mathit{n}}$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{F} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{G} _{\mathit{n}}$이라 하고, 선분 $\mathrm{B} _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}$이 두 선분 $\mathrm{C} _{\mathit{n}} E _{\mathit{n}}$, $\mathrm{\mathrm{E}} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n} + 1}$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{H} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{I} _{\mathit{n}}$이라 하자.

반원 $O _{n}$의 반지름의 길이를 $r _{n}$이라 하고, $n$번째 색칠되는 모양의 도형의 넓이를 $a _{n}$이라 하자. 두 점 $\mathrm{C} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{D} _{\mathit{n}}$이 호 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}}$의 $4$등분점이므로 $\angle \mathrm{C} _{\mathit{n}} OA _{\mathit{n} + 1} = 45 ^\circ$, $\angle \mathrm{A} _{\mathit{n}} OD _{\mathit{n}} = 90 ^\circ$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{D} _{\mathit{n}} A _{\mathit{n}}}} = {\overline{\mathrm{D} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}}}$ $\angle \mathrm{C} _{\mathit{n}} A _{\mathit{n} + 1} O = 90 ^\circ$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n}}}} = \frac{r _{n}}{\sqrt{2}}$ 삼각형 $\mathrm{D} _{\mathit{n}} G _{\mathit{n}} H _{\mathit{n}}$은 $\displaystyle \overline{\mathrm{D} _{\mathit{n}} G _{\mathit{n}}} = \overline{\mathrm{D} _{\mathit{n}} H _{\mathit{n}}}$인 직각삼각형이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{D} _{\mathit{n}} G _{\mathit{n}}}} ^{2}$$\displaystyle = 2 \left( \overline{\mathrm{O} D _{\mathit{n}}} - {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n}}}} \right) ^{2}$$\displaystyle = 2 \left( r _{n} - {\frac{r _{n}}{\sqrt{2}}} \right) ^{2}$$\displaystyle = \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2} r _{n} ^{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{D} _{\mathit{n}} G _{\mathit{n}}}} = \left( \sqrt{2} - 1 \right) \mathit{r} _{n}$ (삼각형 $\mathrm{D} _{\mathit{n}} G _{\mathit{n}} H _{\mathit{n}}$의 넓이)$= 2 \times ($삼각형 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} A _{\mathit{n} + 1} F _{\mathit{n}}$의 넓이) 두 삼각형 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} A _{\mathit{n} + 1} F _{\mathit{n}}$, $\mathrm{B} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n} + 1} I _{\mathit{n}}$이 합동이므로 $a _{n}$$= ($반원 $O _{n}$의 넓이$) - ($사각형 $\mathrm{C} _{\mathit{n}} A _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n} + 1} E _{\mathit{n}}$의 넓이$)$ $- 2 \times ($삼각형 $\mathrm{D} _{\mathit{n}} G _{\mathit{n}} H _{\mathit{n}}$의 넓이$)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \pi r _{n} ^{2} - {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n} + 1}}} \times {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n}}}} - {\overline{\mathrm{D} _{\mathit{n}} G _{\mathit{n}}}} ^{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \pi r _{n} ^{2} - \frac{2 r _{n}}{\sqrt{2}} \times \frac{r _{n}}{\sqrt{2}} - \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2} r _{n} ^{2}$ $\displaystyle = \left( \frac{\pi}{2} + 2 \sqrt{2} - 4 \right) r _{n} ^{2}$ $\displaystyle r _{n + 1} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n} + 1}} = {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n}}}} = \frac{r _{n}}{\sqrt{2}}$이므로 $\displaystyle a _{n + 1} = \left( \frac{\pi}{2} + 2 \sqrt{2} - 4 \right) r _{n + 1} ^{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 2 \sqrt{2} - 4 \right) r _{n} ^{2}$ 따라서 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 $\displaystyle a _{1} = 2 \pi + 8 \sqrt{2} - 16$이고 공비가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 등비수열이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} {a _{n}} = \frac{2 \pi + 8 \sqrt{2} - 16}{1 - \frac{1}{2}} = 4 \pi + 16 \sqrt{2} - 32$