미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반원 도형 극한

문제

그림과 같이 길이가 88인 선분 AB1\mathrm{AB} _{1}을 지름으로 하는 반원을 그리고 호 B1A\mathrm{B} _{1} A 위에 ∠B1AC1=30∘\mathrm{\angle} B _{1} AC _{1} = 30 ^\circ가 되도록 점 C1\mathrm{C} _{1}을 잡는다. 선분 AC1\mathrm{AC} _{1}을 지름으로 하는 반원이 선분 AB1\mathrm{AB} _{1}과 만나는 점 중 점 A\mathrm{A}가 아닌 점을 B2\mathrm{B} _{2}라 할 때, 선분 B2B1\mathrm{B} _{2} B _{1}, 호 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}과 호 C1B2\mathrm{C} _{1} B _{2}로 둘러싸인 도형의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 선분 AB2\mathrm{AB} _{2}를 지름으로 하는 반원을 그리고 호 B2A\mathrm{B} _{2} A 위에 ∠B2AC2=30∘\mathrm{\angle} B _{2} AC _{2} = 30 ^\circ가 되도록 점 C2\mathrm{C} _{2}를 잡는다. 선분 AC2\mathrm{AC} _{2}를 지름으로 하는 반원이 선분 AB2\mathrm{AB} _{2}와 만나는 점 중 점 A\mathrm{A}가 아닌 점을 B3\mathrm{B} _{3}이라 할 때, 선분 B3B2\mathrm{B} _{3} B _{2}, 호 B2C2\mathrm{B} _{2} C _{2}와 호 C2B3\mathrm{C} _{2} B _{3}으로 둘러싸인 도형의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림을 RnR _{n}이라 할 때, 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 하자. lim⁡n→∞Sn=qp(2π+33)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{q}{p} \left( 2 \pi + 3 \sqrt{3} \right)일 때, p+qp + q의 값은? ((단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.)) [4점]

R1R _{1}

R2R _{2}

R3R _{3}

⋯\cdots

①3131②3333③3535④3737⑤3939

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④

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해설

그림 R1R _{1}에서

30∘30 ^\circ

∠B1AC1=30∘\mathrm{\angle} B _{1} AC _{1} = 30 ^\circ이므로 직각삼각형 C1AB1\mathrm{C} _{1} AB _{1}에서 AC1‾=43\displaystyle \overline{\mathrm{AC} _{1}} = 4 \sqrt{3} 직각삼각형 C1AB2\mathrm{C} _{1} AB _{2}에서 AB2‾=6\displaystyle {\overline{\mathrm{AB} _{2}}} = 6 선분 AB1\mathrm{AB} _{1}의 중점을 O1\mathrm{O} _{1}, 선분 AB2\mathrm{AB} _{2}의 중점을 O2\mathrm{O} _{2}, 선분 AC1\mathrm{AC} _{1}의 중점을 H1\mathrm{H} _{1}이라 하면 O1H1‾=2\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{1} H _{1}}} = 2, H1O2‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{H} _{1} O _{2}}} = \sqrt{3} S1S _{1}=(= (부채꼴 O1B1C1+\mathrm{O} _{1} B _{1} C _{1} +삼각형 O1C1A)\mathrm{O} _{1} C _{1} A ) −(- (부채꼴 H1B2C1+\mathrm{H} _{1} B _{2} C _{1} +삼각형 H1AB2)\mathrm{H} _{1} AB _{2} ) ==(16π×60∘360∘+12×43×2)\displaystyle \left( 16 \pi \times \frac{60 ^\circ}{360 ^\circ} + \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{3} \times 2 \right)−(12π×60∘360∘+12×6×3)\displaystyle - \left( 12 \pi \times \frac{60 ^\circ}{360 ^\circ} + \frac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{3} \right) =16(π6+34)−12(π6+34)\displaystyle = 16 \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) - 12 \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right)=13(2π+33)\displaystyle = \frac{1}{3} \left( 2 \pi + 3 \sqrt{3} \right) 다음은 그림 RnR _{\mathit{n}}의 일부이다.

Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}} Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}} Bn+1\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} 30∘30 ^\circ On+1\mathrm{O} _{\mathit{n} + 1} On\mathrm{O} _{\mathit{n}} rn+1r _{\mathit{n} + 1} rnr _{\mathit{n}}

ABn‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AB} _{\mathit{n}}}}을 지름으로 하는 반원의 반지름의 길이를 rnr _{\mathit{n}}, ABn+1‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n} + 1}}}}을 지름으로 하는 반원의 반지름의 길이를 rn+1r _{\mathit{n} + 1}이라 하자. ABn‾=2rn\displaystyle \overline{\mathrm{AB} \mathit{_{\mathit{n}}}} = 2 r _{\mathit{n}}, ∠BnACn=30∘\angle \mathrm{B} _{\mathit{n}} AC \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}} = 30 ^\circ이므로 직각삼각형 CnABn\mathrm{C} _{\mathit{n}} AB _{\mathit{n}}에서 ACn‾=3rn\displaystyle \overline{\mathrm{AC} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}}} = \sqrt{3} r _{\mathit{n}} ∠Bn+1ACn=30∘\angle \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} AC _{\mathit{n}} = 30 ^\circ이므로 직각삼각형 CnABn+1\mathrm{C} \mathit{_{\mathit{n}}} \mathrm{AB} _{\mathit{n} + 1}에서 ABn+1‾=32rn\displaystyle \overline{\mathrm{AB} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n} + 1}}}} = \frac{3}{2} r _{\mathit{n}} 따라서 rn+1=34rn\displaystyle r _{\mathit{n} + 1} = \frac{3}{4} r _{\mathit{n}} 그림 RnR _{\mathit{n}}에서 새롭게 색칠되는 도형의 넓이를 TnT _{\mathit{n}}이라 하면 Tn+1=916Tn\displaystyle T _{\mathit{n} + 1} = \frac{9}{16} T _{\mathit{n}}이고 Sn=∑k=1nTn\displaystyle S _{\mathit{n}} = \sum\limits _{\mathit{k} = 1} ^{\mathit{n}} T _{\mathit{n}} lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞∑k=1nTk=13(2π+33)1−916\displaystyle \lim\limits _{\mathit{n} \rightarrow \infty} {S _{\mathit{n}}} = \lim\limits _{\mathit{n} \rightarrow \infty} {\sum\limits _{\mathit{k} = 1} ^{\mathit{n}} T _{\mathit{k}} =} \frac{\frac{1}{3} \left( 2 \pi + 3 \sqrt{3} \right)}{1 - \frac{9}{16}}=1621(2π+33)\displaystyle = \frac{16}{21} \left( 2 \pi + 3 \sqrt{3} \right) 따라서 p+q=21+16=37p + q = 21 + 16 = 37

태그

#등비급수#도형

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