반원 도형 극한

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

반원의 중심을 $\mathrm{O}$, 선분$\mathrm{OP}$의 중점을 $\mathrm{H}$라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = 6$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} = 3$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = 3$ $\mathrm{\angle} OAP = \angle OPA = \theta$ $\angle \mathrm{POQ} = \angle \mathrm{OPQ} = 2 \theta$, $\displaystyle \angle \mathrm{OQH} = \frac{\pi}{2} - 2 \theta$ $\displaystyle \mathrm{\cos} 2 \theta = \frac{OH}{OQ}$이므로 $\displaystyle OQ = \frac{3}{\cos 2 \theta}$ 삼각형 $\mathrm{OQP}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 \times \frac{3}{\cos 2 \theta} \times \sin 2 \theta = \frac{9 \sin 2 \theta}{\cos 2 \theta}$ $S ( \theta ) =$(부채꼴 $\mathrm{OBP}$의 넓이)$-$(삼각형 $\mathrm{OQP}$의 넓이) $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 6 ^{2} \times 2 \theta$$-$$\displaystyle \frac{9 \sin 2 \theta}{\cos 2 \theta}$ $\displaystyle = 36 \theta - \frac{9 \sin 2 \theta}{\cos 2 \theta}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S ( \theta )}{\theta} =} \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{36 \theta - \frac{9 \sin 2 \theta}{\cos 2 \theta}}{\theta}} = 18$